Une note sur les intervalles de Tamari
Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 25 (2018) no. 2, pp. 299-314.

À tout ordre partiel P, on associe un polynôme 𝔻 P en quatre variables, qui énumère les intervalles dans P en fonction de quatre paramètres dont la description utilise un ordre partiel naturel sur les intervalles.

On s’intéresse aux symétries de cet invariant général lorsqu’il est appliqué à une famille importante d’ordres partiels, les treillis de Tamari. On obtient une symétrie ternaire pour une spécialisation du polynôme (en utilisant une équation fonctionnelle et une équation algébrique pour la série génératrice) et une conjecture sur une symétrie globale du polynôme. On décrit le sous-ensemble connu des intervalles synchrones des treillis de Tamari en terme d’une facette dans un polytope de Newton. On relie une autre spécialisation du polynôme aux statistiques provenant de la canopée des arbres binaires plans.

To every partial order P, one can associate a polynomial 𝔻 P in four variables that enumerates intervals in P according to four parameters coming from a natural partial order on intervals.

This article’s main interest lies in the symmetries of this general invariant when applied to a specific and important familly of posets, the Tamari lattices. We prove a ternary symmetry for an evaluation in 3 variables (using a functional equation and an algebraic equation for the generating series). We describe the subset of synchronized intervals as forming a facet of the Newton polytope. We also get a relation to the generating series of the canopies of intervals.

Publié le : 2018-11-28
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.378
Classification : 06A07,  05A15
Mots clés: treillis de Tamari, serie generatrice, combinatoire, arbre binaire
@article{AMBP_2018__25_2_299_0,
     author = {Fr\'ed\'eric Chapoton},
     title = {Une note sur les intervalles de Tamari},
     journal = {Annales Math\'ematiques Blaise Pascal},
     publisher = {Universit\'e Clermont Auvergne, Laboratoire de math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {25},
     number = {2},
     year = {2018},
     pages = {299-314},
     doi = {10.5802/ambp.378},
     language = {fr},
     url = {ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2018__25_2_299_0/}
}
Chapoton, Frédéric. Une note sur les intervalles de Tamari. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 25 (2018) no. 2, pp. 299-314. doi : 10.5802/ambp.378. https://ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2018__25_2_299_0/

[1] Olivier Bernardi; Nicolas Bonichon Intervals in Catalan lattices and realizers of triangulations, J. Comb. Theory, Ser. A, Tome 116 (2009) no. 1, pp. 55-75 | Article | MR 2469248

[2] Mireille Bousquet-Mélou; Guillaume Chapuy; Louis-François Préville-Ratelle The representation of the symmetric group on m-Tamari intervals, Adv. Math., Tome 247 (2013), pp. 309-342 | Article | MR 3096799

[3] Mireille Bousquet-Mélou; Éric Fusy; Louis-François Préville-Ratelle The number of intervals in the m-Tamari lattices, Electron. J. Comb., Tome 18 (2011) no. 2, 31, 26 pages (Art. ID 31, 26 p.) | MR 2880681

[4] Mireille Bousquet-Mélou; Arnaud Jehanne Polynomial equations with one catalytic variable, algebraic series and map enumeration, J. Comb. Theory, Ser. B, Tome 96 (2006) no. 5, pp. 623-672 | Article | MR 2236503 | Zbl 1099.05043

[5] Petter Brändén On linear transformations preserving the Pólya frequency property, Trans. Am. Math. Soc., Tome 358 (2006) no. 8, pp. 3697-3716 | Article | MR 2218995

[6] Frédéric Chapoton Sur le nombre d’intervalles dans les treillis de Tamari, Sémin. Lothar. Comb., Tome 55 (2005/07), B55f, 18 pages (Art. ID B55f, 18 p.) | MR 2264942

[7] Frédéric Chapoton; Grégory Châtel; Viviane Pons Two bijections on Tamari intervals, 26th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2014) (Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science), The Association. Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science (DMTCS), 2014, pp. 241-252 | MR 3466376 | Zbl 1298.05004

[8] Wenjie Fang; Louis-François Préville-Ratelle The enumeration of generalized Tamari intervals, Eur. J. Comb., Tome 61 (2017), pp. 69-84 | Article | MR 3588709

[9] Associahedra, Tamari lattices and related structures (Folkert Müller-Hoissen; Jean Marcel Pallo; Jim Stasheff, eds.), Progress in Mathematical Physics. Tamari memorial Festschrift, Tome 299, Birkhäuser, 2012, xx+433 pages | MR 3235205 | Zbl 1253.00013

[10] Louis-François Préville-Ratelle; Xavier Viennot The enumeration of generalized Tamari intervals, Trans. Am. Math. Soc., Tome 369 (2017) no. 7, pp. 5219-5239 | Article | MR 3632566