Stochastic extensions of symbols in Wiener spaces and heat operator
[Extensions stochastiques de symboles et opérateur de la chaleur]
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 28 (2021) no. 2, pp. 157-198.

La construction d’un calcul pseudodifférentiel en dimension infinie analogue au calcul de Weyl, dans [1], a conduit à introduire des classes de symboles adaptées. Les symboles sont des fonctions définies sur un espace de Hilbert de dimension infinie H, ce qui contraint à étudier, en particulier, leur extension stochastique à un espace de Wiener construit sur H.

Dans cet article, nous définissons une nouvelle classe de symboles, nécessaire pour une application en électrodynamique quantique. Nous poursuivons aussi l’étude des premières classes de symboles. Ces résultats seront utilisés ultérieurement pour établir les propriétés qu’un calcul pseudodifférentiel est censé vérifier. Ils révèlent aussi les liens entre les fonctions définies sur l’espace de Hilbert (l’espace de Cameron–Martin) et leurs extensions stochastiques.

Plus précisément, on prouve ici que les symboles appartenant aux deux types de classes et les termes de leur développement de Taylor admettent des extensions stochastiques. On définit, en dimension infinie, un semi-groupe H t analogue au semi-groupe de la chaleur classique sur l’espace de Wiener [5, 7]. Mais au lieu d’agir sur des fonctions définies sur un espace de Wiener, il agit sur des fonctions définies sur l’espace de Cameron–Martin, c’est-à-dire sur des fonctions appartenant à nos classes de symboles. L’opérateur de la chaleur commute avec un opérateur du second ordre analogue au Laplacien et qui est le générateur infinitésimal du semi-groupe. Un fait surprenant est que ce Laplacien est continu sur le second type de classes de symboles. Cela permet de développer H t en termes de puissances de t et de l’inverser.

The construction, in [1], of a pseudodifferential calculus analogous to the Weyl calculus, in an infinite dimensional setting, required the introduction of convenient symbol classes. The symbols are functions defined on an infinite dimensional Hilbert space H, which compels us to investigate, in particular, their stochastic extensions to a Wiener space linked with H.

In this article, we define a new class of symbols, which applications in quantum electrodynamics render necessary. We proceed with the study of the first classes too. The results will be used to establish, later on, the properties that a pseudodifferential calculus is expected to satisfy. They reveal as well links between functions defined on the Hilbert space (the Cameron–Martin space) and their stochastic extensions.

More precisely, we prove here that the symbols of both classes and the terms of their Taylor expansions admit stochastic extensions. We define, in this infinite dimensional setting, a semigroup H t analogous to the classical heat semigroup on a Wiener space [5, 7]. But, instead of acting on functions defined on a Wiener space, it acts on functions defined on its Cameron–Martin space, namely on functions belonging to one of our symbol classes. The heat operator commutes with a second order operator similar to the Laplacian, which is the infinitesimal generator of the semigroup. A surprising feature is that this Laplacian is continuous on the second class of symbols. This allows us, in this case, to give an expansion in powers of t of H t f, or to invert it.

Publié le :
DOI : 10.5802/ambp.403
Classification : 35K08, 28C20
Keywords: stochastic extensions, heat operator, Wiener spaces, pseudodifferential calculus, symbol classes
Mot clés : Extensions stochastiques, opérateur de la chaleur, expaces de Wienes, calcul pseudodifférentiel, classes de symboles
Lisette Jager 1

1 Laboratoire de Mathématiques de Reims, LMR FRE 2011 Université de Reims Champagne Ardenne Moulin de la Housse 51097 Reims France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
@article{AMBP_2021__28_2_157_0,
     author = {Lisette Jager},
     title = {Stochastic extensions of symbols in {Wiener} spaces and heat operator},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     pages = {157--198},
     publisher = {Universit\'e Clermont Auvergne, Laboratoire de math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {28},
     number = {2},
     year = {2021},
     doi = {10.5802/ambp.403},
     language = {en},
     url = {https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.403/}
}
TY  - JOUR
AU  - Lisette Jager
TI  - Stochastic extensions of symbols in Wiener spaces and heat operator
JO  - Annales mathématiques Blaise Pascal
PY  - 2021
SP  - 157
EP  - 198
VL  - 28
IS  - 2
PB  - Université Clermont Auvergne, Laboratoire de mathématiques Blaise Pascal
UR  - https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.403/
DO  - 10.5802/ambp.403
LA  - en
ID  - AMBP_2021__28_2_157_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Lisette Jager
%T Stochastic extensions of symbols in Wiener spaces and heat operator
%J Annales mathématiques Blaise Pascal
%D 2021
%P 157-198
%V 28
%N 2
%I Université Clermont Auvergne, Laboratoire de mathématiques Blaise Pascal
%U https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.403/
%R 10.5802/ambp.403
%G en
%F AMBP_2021__28_2_157_0
Lisette Jager. Stochastic extensions of symbols in Wiener spaces and heat operator. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 28 (2021) no. 2, pp. 157-198. doi : 10.5802/ambp.403. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.403/

[1] Laurent Amour; Lisette Jager; Jean Nourrigat On bounded pseudodifferential operators in Wiener spaces, J. Funct. Anal., Volume 269 (2015) no. 9, pp. 2747-2812 | DOI | MR | Zbl

[2] Laurent Amour; Lisette Jager; Jean Nourrigat Weyl calculus in QED I. The unitary group, J. Math. Phys., Volume 58 (2017) no. 1, 013501, 24 pages | MR

[3] Leonard Gross Measurable functions on Hilbert space, Trans. Am. Math. Soc., Volume 105 (1962), pp. 372-390 | DOI | MR | Zbl

[4] Leonard Gross Abstract Wiener spaces, Proc. 5th Berkeley Symp. Math. Stat. Probab., Univ. Calif. 1965/66. Vol. II, Part 1: Contributions to probability theory, University of California Press, 1967, pp. 31-42 | Zbl

[5] Leonard Gross Potential theory on Hilbert space, J. Funct. Anal., Volume 1 (1967), pp. 123-181 | DOI | MR | Zbl

[6] Leonard Gross Abstract Wiener measure and infinite dimensional potential theory, Lectures in modern Analysis and applications. II (Lecture Notes in Mathematics), Volume 140, Springer, 1970, pp. 84-116 | MR | Zbl

[7] Brian C. Hall The heat operator in infinite dimensions, Infinite Dimensional Analysis in Honor of H.-H. Kuo (QP–PQ: Quantum Probability and White Noise Analysis), Volume 22, World Scientific, 2008, pp. 161-174 | MR | Zbl

[8] Paul Krée; Ryszard Raczka Kernels and symbols of operators in quantum field theory, Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor., Volume 28 (1978), pp. 41-73 | Numdam | MR | Zbl

[9] Hui-Hsiung Kuo Gaussian measures in Banach spaces, Lecture Notes in Mathematics, 463, Springer, 1975

[10] Amnon Pazy Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, 44, Springer, 1983 | DOI

[11] Roald Ramer On nonlinear transformations of Gaussian measures, J. Funct. Anal., Volume 15 (1974), pp. 166-187 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :