On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group

Jordan Franks; Alain Valette

doi:10.5802/ambp.335

On

1

-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group
[Sur les

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-cocycles induits par une fonction de type positif sur un groupe abélien localement compact]

Jordan Franks ¹ ; Alain Valette ²

¹ Mathematisches Institut Universität Bonn Endenicher Allee 60 53115 Bonn Germany
² Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel Unimail, 11 Rue Emile Argand CH-2000 Neuchâtel Switzerland

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) no. 1, pp. 61-69

Abstract (VO)
Résumé

For $ϕ$ a normalized positive definite function on a locally compact abelian group $G$ , let $π_{ϕ}$ be the unitary representation associated to $ϕ$ by the GNS construction. We give necessary and sufficient conditions for the vanishing of 1-cohomology $H^{1} (G, π_{ϕ})$ and reduced 1-cohomology ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ})$ . For example, ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ}) = 0$ if and only if either $Hom (G, ℂ) = 0$ or $μ_{ϕ} (1_{G}) = 0$ , where $1_{G}$ is the trivial character of $G$ and $μ_{ϕ}$ is the probability measure on the Pontryagin dual $\hat{G}$ associated to $ϕ$ by Bochner’s Theorem. This streamlines an argument of Guichardet (see Theorem 4 in [7]).

Soit $ϕ$ une fonction de type positif normalisée sur un groupe localement compact abélien $G$ , et $π_{ϕ}$ la représentation unitaire de $G$ obtenue par construction GNS. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour l’annulation de la 1-cohomologie $H^{1} (G, π_{ϕ})$ et de la 1-cohomologie réduite ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ})$ . Par exemple, ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ}) = 0$ si et seulement si ou bien $Hom (G, ℂ) = 0$ ou bien $μ_{ϕ} (1_{G}) = 0$ , où $1_{G}$ est le caractère trivial de $G$ et $μ_{ϕ}$ est la mesure de probabilité sur le dual de Pontryagin $\hat{G}$ associée à $ϕ$ par le théorème de Bochner. Cela simplifie un argument de Guichardet (Théorème 4 de [7]).

MR Zbl

DOI : 10.5802/ambp.335

Classification : 43A35
Keywords: continuous 1-cohomology, cyclic representation, GNS construction, locally compact abelian group, positive definite function

Affiliations des auteurs :

Jordan Franks ¹ ; Alain Valette ²

¹ Mathematisches Institut Universität Bonn Endenicher Allee 60 53115 Bonn Germany
² Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel Unimail, 11 Rue Emile Argand CH-2000 Neuchâtel Switzerland

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Bibliographie
Cité par

[1] Bachir Bekka; Pierre de la Harpe; Alain Valette Kazhdan’s property (T), Cambridge University Press, 2008 | Zbl | MR

[2] Bachir Bekka; Alain Valette Group cohomology, harmonic functions and the first $L^{2}$ -Betti number, Potential Analysis, Volume 6 (1997), pp. 313-326 | DOI | Zbl | MR

[3] Yves de Cornulier; Romain Tessera; Alain Valette Isometric group actions on Banach space and representations vanishing at infinity, Transform. Groups, Volume 13 (2008), pp. 125-147 | DOI | Zbl | MR

[4] Jacques Dixmier Les $C^{*}$ -alg $\overset{`}{e}$ bres et leurs repr $\overset{´}{e}$ sentations, Gauthier-Villars, 1969 | Zbl

[5] Gerald Folland A course in abstract harmonic analysis, CRC Press, 1995 | Zbl | MR

[6] Alain Guichardet Sur la cohomologie des groupes topologiques, Bull. Sc. Math, Volume 95 (1971), pp. 161-176 | Zbl | MR

[7] Alain Guichardet Sur la cohomologie des groupes topologiques II, Bull. Sc. Math., Volume 96 (1972), pp. 305-332 | Zbl | MR

[8] Alain Guichardet Cohomologie des groupes topologiques et des alg $\overset{`}{e}$ bres de Lie, CEDIC, 1980 | Zbl | MR

[9] Walter Rudin Fourier analysis on groups, John Wiley and Sons, 1962 | Zbl | MR

[10] Yehuda Shalom Rigidity of commensurators and irreducible lattices, Invent. Math., Volume 141 (2000), pp. 1-54 | DOI | Zbl | MR

Cité par Sources :