Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires
[Small random perturbations of random evolution equations]
Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 19 (2012) no. 1, pp. 271-296.

In this paper, we study a large deviations principle associated to the couple (X ε ,ν ε ), solution of Itô integral:

dXtε=εσνε(t)(Xtε)dWt+bνε(t)(Xtε)dt;X0ε=xd

under general conditions on the coefficients, in the two following cases:

First case: ν ε is independant of the brownian motion W and obeys a large deviations principle;

Second case: ν ε is a markovian process with finite states {1,...,n} such that {ν ε (t+Δ)=j/ν ε (t)=i,X ε (t)=x}=d ij (x)Δ+o(Δ) uniformely in d , provided Δ0,1i,jn,ij.

Our results extend those of Bezuidenhout [2] and Eizenberg & Freidlin [7], to general σ.

Dans cet article, nous étudions les résultats de grandes déviations associés au couple (X ε ,ν ε ), solution de l’E.D.S. interprétée au sens d’Itô :

dXtε=εσνε(t)(Xtε)dWt+bνε(t)(Xtε)dt;X0ε=xd

avec des conditions assez générales sur les coefficients et dans les deux cas suivants :

Premier cas : ν ε est indépendant du mouvement brownien W et satisfait à un principe de grandes déviations ;

Deuxième cas : ν ε est un processus markovien avec un nombre fini d’états {1,...,n} vérifiant

{νε(t+Δ)=j/νε(t)=i,Xε(t)=x}=dij(x)Δ+o(Δ)

uniformément dans d pourvu que Δ0,1i,jn,ij.

Ces résultats sont des extensions de ceux de Bezuidenhout [2] et d’Eizenberg & Freidlin [7] au cas où σ est quelconque.

DOI: 10.5802/ambp.314
Classification: 60F17,  60F10
Keywords: Principe de grandes déviations, équations d’évolutions aléatoires, systèmes d’E.D.P., goulots de sortie
Lyliane Irène Rajaonarison 1; Toussaint Joseph Rabeherimanana 2

1 E.S.P.A, Département Electronique Vontovorona Antananarivo 101 MADAGASCAR
2 Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique B.P. 906, Ankatso Antananarivo101 MADAGASCAR
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Lyliane Irène  Rajaonarison; Toussaint Joseph Rabeherimanana. Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires. Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 19 (2012) no. 1, pp. 271-296. doi : 10.5802/ambp.314. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.314/

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