Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires

Lyliane Irène  Rajaonarison; Toussaint Joseph Rabeherimanana

doi:10.5802/ambp.314

Lyliane Irène Rajaonarison ¹ ; Toussaint Joseph Rabeherimanana ²

¹ E.S.P.A, Département Electronique Vontovorona Antananarivo 101 MADAGASCAR
² Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique B.P. 906, Ankatso Antananarivo101 MADAGASCAR

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 271-296.

Résumé
Abstract

Dans cet article, nous étudions les résultats de grandes déviations associés au couple $(X^{ε}, ν^{ε})$ , solution de l’E.D.S. interprétée au sens d’Itô :

d X_{t}^{ε} = \sqrt{ε} σ_{ν^{ε} (t)} (X_{t}^{ε}) d W_{t} + b_{ν^{ε} (t)} (X_{t}^{ε}) d t; X_{0}^{ε} = x \in ℝ^{d}

avec des conditions assez générales sur les coefficients et dans les deux cas suivants :

Premier cas : $ν^{ε}$ est indépendant du mouvement brownien $W$ et satisfait à un principe de grandes déviations ;

Deuxième cas : $ν^{ε}$ est un processus markovien avec un nombre fini d’états ${1, . . ., n}$ vérifiant

ℙ {ν^{ε} (t + Δ) = j / ν^{ε} (t) = i, X^{ε} (t) = x} = d_{i j} (x) Δ + o (Δ)

uniformément dans $ℝ^{d}$ pourvu que $Δ ↓ 0, 1 \leq i, j \leq n, i \neq j$ .

Ces résultats sont des extensions de ceux de Bezuidenhout [2] et d’Eizenberg & Freidlin [7] au cas où $σ$ est quelconque.

In this paper, we study a large deviations principle associated to the couple $(X^{ε}, ν^{ε})$ , solution of Itô integral:

d X_{t}^{ε} = \sqrt{ε} σ_{ν^{ε} (t)} (X_{t}^{ε}) d W_{t} + b_{ν^{ε} (t)} (X_{t}^{ε}) d t; X_{0}^{ε} = x \in ℝ^{d}

under general conditions on the coefficients, in the two following cases:

First case: $ν^{ε}$ is independant of the brownian motion $W$ and obeys a large deviations principle;

Second case: $ν^{ε}$ is a markovian process with finite states ${1, . . ., n}$ such that $ℙ {ν^{ε} (t + Δ) = j / ν^{ε} (t) = i, X^{ε} (t) = x} = d_{i j} (x) Δ + o (Δ)$ uniformely in $ℝ^{d}$ , provided $Δ ↓ 0, 1 \leq i, j \leq n, i \neq j$ .

Our results extend those of Bezuidenhout [2] and Eizenberg & Freidlin [7], to general $σ$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/ambp.314

Classification : 60F17, 60F10
Mots clés : Principe de grandes déviations, équations d’évolutions aléatoires, systèmes d’E.D.P., goulots de sortie

Affiliations des auteurs :

Lyliane Irène Rajaonarison ¹ ; Toussaint Joseph Rabeherimanana ²

¹ E.S.P.A, Département Electronique Vontovorona Antananarivo 101 MADAGASCAR
² Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique B.P. 906, Ankatso Antananarivo101 MADAGASCAR

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Lyliane Irène  Rajaonarison; Toussaint Joseph Rabeherimanana. Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 271-296. doi : 10.5802/ambp.314. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.314/

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