Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique

Abdelmalek Azizi; Mohammed Taous

doi:10.5802/ambp.255

Abdelmalek Azizi ¹ ; Mohammed Taous ¹

¹ Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohammed 1 Oujda Maroc

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 1, pp. 83-92.

Résumé
Abstract

Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $K = Q (\sqrt{d}, i)$ , $i = \sqrt{- 1}$ , $K_{2}^{(1)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K$ , $K_{2}^{(2)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K_{2}^{(1)}$ et $G = Gal (K_{2}^{(2)} / K)$ le groupe de Galois de $K_{2}^{(2)} / K$ . Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$ -groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d = 2 p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p \equiv 1 (mod 4)$ .

Let $d$ be positive square-free integers, $K = Q (\sqrt{d}, i)$ and $i = \sqrt{- 1}$ . Let $K_{1}^{(2)}$ be the Hilbert $2$ -class field of $K$ , $K_{2}^{(2)}$ be the Hilbert $2$ -class field of $K_{1}^{(2)}$ and $G = Gal (K_{2}^{(2)} / K)$ be the Galois group of $K_{2}^{(2)} / K$ . Our goal is to show that there is some form of $d$ such $G$ is a nonmetacyclic $2$ -group and give the necessary condition and sufficient for the group $G$ to be metacyclic in case $d = 2 p$ with $p$ a prime number such that $p \equiv 1 (mod 4)$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/ambp.255

Classification : 11R27, 11R29, 11R37
Mots clés : groupe des unités, système fondamentale d’unités, capitulation, corps de classes de Hilbert, $2$-groupe métacyclique

Affiliations des auteurs :

Abdelmalek Azizi ¹ ; Mohammed Taous ¹

¹ Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohammed 1 Oujda Maroc

@article{AMBP_2009__16_1_83_0,
     author = {Abdelmalek Azizi and Mohammed Taous},
     title = {Condition n\'ecessaire et suffisante pour que certain groupe de {Galois} soit m\'etacyclique},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     pages = {83--92},
     publisher = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {16},
     number = {1},
     year = {2009},
     doi = {10.5802/ambp.255},
     mrnumber = {2514529},
     zbl = {1168.11046},
     language = {fr},
     url = {https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.255/}
}

TY  - JOUR
AU  - Abdelmalek Azizi
AU  - Mohammed Taous
TI  - Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique
JO  - Annales mathématiques Blaise Pascal
PY  - 2009
SP  - 83
EP  - 92
VL  - 16
IS  - 1
PB  - Annales mathématiques Blaise Pascal
UR  - https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.255/
DO  - 10.5802/ambp.255
LA  - fr
ID  - AMBP_2009__16_1_83_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Abdelmalek Azizi
%A Mohammed Taous
%T Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique
%J Annales mathématiques Blaise Pascal
%D 2009
%P 83-92
%V 16
%N 1
%I Annales mathématiques Blaise Pascal
%U https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.255/
%R 10.5802/ambp.255
%G fr
%F AMBP_2009__16_1_83_0

Abdelmalek Azizi; Mohammed Taous. Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 1, pp. 83-92. doi : 10.5802/ambp.255. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.255/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Azizi Capitulation of the $2$ -ideal Classes of $ℚ (\sqrt{p_{1} p_{2}}, i)$ Where $p_{1}$ and $p_{2}$ are primes such that $p_{1} \equiv 1 (mod 8)$ , $p_{2} \equiv 5 (mod 8)$ and $(\frac{p_{1}}{p_{2}}) = - 1$ , Lecture notes in pure and applied mathematics, Volume 208 (1999), pp. 13-19 | MR | Zbl

[2] A. Azizi Sur une question de Capitulation, Proc. Amer. Math. Soc, Volume 130 (2002), pp. 2197-2202 | DOI | MR | Zbl

[3] A. Azizi; M. Taous Capitulation of $2$ -ideal classes of $k = ℚ (\sqrt{2 p}, i)$ in the genus field of $k$ where $p$ is prime such that $p \equiv 1 (mod 8)$ , IJPAM, Volume 35 (2007) no. 2, pp. 481-487 | MR

[4] C. Baginski; A. Konovalov On $2$ -groups of almost maximal class, Publ. Math, Volume 65 (2004) no. 1-2, pp. 97-131 | MR | Zbl

[5] E. Benjamin; F. Lemmermeyer; C. Snyder Imaginary Quadratic Fields $k$ with Cyclic $C l_{2} (k^{1})$ , J. Number Theory, Volume 67 (1997), pp. 229-245 | DOI | MR | Zbl

[6] E. Benjamin; F. Lemmermeyer; C. Snyder Real quadratic fields with abelian $2$ -class field tower, J. Number Theory, Volume 73 (1998), pp. 182-194 | DOI | MR | Zbl

[7] E. Benjamin; F. Lemmermeyer; C. Snyder Imaginary quadratic fields with $C l_{2} (k) = (2, 2^{m})$ and rank $C l_{2} (k^{1}) = 2$ , Pac. J. Math, Volume 198 (2001), pp. 15-31 | DOI | MR | Zbl

[8] E. Benjamin; C. Snyder Number Fields with $2$ -class Number Isomorphic to $(2, 2^{m})$ (1994) (preprint)

[9] N. Blackburn On Prime Power Groups in which the Derived Group has Two Generators, Proc. Cambridge Phil. Soc, Volume 53 (1957), pp. 19-27 | DOI | MR | Zbl

[10] N. Blackburn On a special class of $p$ -groups, Acta Math, Volume 100 (1958), pp. 45-92 | DOI | MR | Zbl

[11] R. James $2$ -Groups of Almost Maximal Class, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, Volume 19 (1975), pp. 343-357 | DOI | MR | Zbl

[12] H. Kisilevsky Number fields with class number congruent to $4$ $\mod$ $8$ and Hilbert’s theorem $94$ , J. Number Theory, Volume 8 (1976) no. 3, pp. 271-279 | DOI | MR | Zbl

[13] T. Kubota Über die Beziehung der Klassenzahlen der Unterkörper des bizyklischen Zahlkörpers, Nagoya Math. J, Volume 6 (1953), pp. 119-127 | MR | Zbl

[14] T.M. McCall; C.J. Parry; R.R. Ranalli On imaginary bicyclic biquadratic fields with cyclic $2$ -class group, J. Number Theory, Volume 53 (1995), pp. 88-99 | DOI | MR | Zbl

[15] O. Taussky A Remark on the Class Field Tower, J. Number Theory, Volume 12 (1937), pp. 82-85

Cité par Sources :