Annales Mathématiques
Blaise Pascal
no. 1
Analyse de sensibilité d’un problème de contrôle optimal bilinéaire
Jean-Marc Clérin1
1 Laboratoire d’Analyse Non Linéaire et Géométrie (EA 2151) Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse 33 rue Louis Pasteur 84018 AVIGNON CEDEX et Iufm de Paris Université Paris-Sorbonne (Paris IV) 10 rue Molitor 75016 PARIS CEDEX FRANCE
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 177-196.

Dans cet article, nous étudions la sensibilité d’un problème de contrôle optimal de type bilinéaire. Le coût est différentiable, quadratique et strictement convexe. Le système est gouverné par un opérateur parabolique du quatrième ordre et présente une perturbation additive dans l’équation d’état, ainsi qu’une partie bilinéaire, relativement au contrôle u et à l’état z, de la forme (u·∇)z. Sous des conditions de petitesse de l’état initial et de la perturbation, nous exploitons les propriétés de régularité et d’unicité du contrôle optimal pour démontrer la stabilité de la fonction valeur optimale. La formule des dérivées directionnelles en zéro de la valeur optimale est explicitée.

In this paper, we study the sensitivity of an optimal control problem of bilinear type. The cost is differentiable, strictly convex and quadratic. The system is governed by a fourth order parabolic operator and has an additive perturbation in the state equation, and a bilinear part with respect to the control u and the state z of the form (u·∇)z. Under conditions of smallness of the initial state and perturbation, we exploit the properties of regularity and uniqueness of optimal control to demonstrate the stability of the optimal value function. The formula for directional derivatives at zero of the optimal value is explained.

DOI : 10.5802/ambp.309
Classification : 35K55, 49K20, 49K40
Mot clés : contrôle optimal bilinéaire, bilaplacien, équations paraboliques, contraintes sur l’état, conditions d’optimalité du second ordre, analyse de sensibilité, valeur optimale
Keywords: bilinear optimal control, bilaplacian, parabolic equations, state constraints, second-order optimality conditions, sensitivity analysis, value function

Jean-Marc Clérin 1

1 Laboratoire d’Analyse Non Linéaire et Géométrie (EA 2151) Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse 33 rue Louis Pasteur 84018 AVIGNON CEDEX et Iufm de Paris Université Paris-Sorbonne (Paris IV) 10 rue Molitor 75016 PARIS CEDEX FRANCE 
@article{AMBP_2012__19_1_177_0,
     author = {Jean-Marc Cl\'erin},
     title = {Analyse de sensibilit\'e d{\textquoteright}un probl\`eme de contr\^ole optimal bilin\'eaire},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     pages = {177--196},
     publisher = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {19},
     number = {1},
     year = {2012},
     doi = {10.5802/ambp.309},
     mrnumber = {2978318},
     zbl = {1252.35151},
     language = {fr},
     url = {https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.309/}
}
TY  - JOUR
AU  - Jean-Marc Clérin
TI  - Analyse de sensibilité d’un problème de contrôle optimal bilinéaire
JO  - Annales mathématiques Blaise Pascal
PY  - 2012
SP  - 177
EP  - 196
VL  - 19
IS  - 1
PB  - Annales mathématiques Blaise Pascal
UR  - https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.309/
DO  - 10.5802/ambp.309
LA  - fr
ID  - AMBP_2012__19_1_177_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Jean-Marc Clérin
%T Analyse de sensibilité d’un problème de contrôle optimal bilinéaire
%J Annales mathématiques Blaise Pascal
%D 2012
%P 177-196
%V 19
%N 1
%I Annales mathématiques Blaise Pascal
%U https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.309/
%R 10.5802/ambp.309
%G fr
%F AMBP_2012__19_1_177_0
Jean-Marc Clérin. Analyse de sensibilité d’un problème de contrôle optimal bilinéaire. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 177-196. doi : 10.5802/ambp.309. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.309/

[1] A. Addou; A. Benbrik Existence and uniqueness of optimal control for a distributed-parameter bilinear system, J. Dynam. Control Systems, Volume 8 (2002) no. 2, pp. 141-152 | DOI | MR

[2] V. Barbu; Th. Precupanu Convexity and optimization in Banach spaces, Mathematics and its Applications (East European Series), 10, D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1986 | MR | Zbl

[3] J. F. Bonnans Bilinear optimal control of the velocity term in a Kirchhoff plate equation, J. Math. Anal. Appl., Volume 238 (1999) no. 2, pp. 451-467 | DOI | MR | Zbl

[4] J. F. Bonnans Optimisation continue, Dunod, Paris, 2006 (Mathématiques appliquées pour le Master/SMAI)

[5] J. F. Bonnans; A. Shapiro Perturbation analysis of optimization problems, Springer Series in Operations Research, Springer-Verlag, New York, 2000 | MR

[6] M. E. Bradley; S. Lenhart; J. Yong Bilinear optimal control of the velocity term in a Kirchhoff plate equation, J. Math. Anal. Appl., Volume 238 (1999) no. 2, pp. 451-467 | DOI | MR | Zbl

[7] H. Brézis Analyse fonctionnelle, Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. [Collection of Applied Mathematics for the Master’s Degree], Masson, Paris, 1983 (Théorie et applications. [Theory and applications]) | Zbl

[8] C. Bruni; G. DiPillo; G. Koch Bilinear systems : an appealing class of “nearly linear” systems in theory and applications, IEEE Trans. Automatic Control, Volume AC-19 (1974), pp. 334-348 | DOI | MR | Zbl

[9] J.-M. Clérin Problèmes de contrôle optimal du type bilinéaire gouvernés par des équations aux dérivées partielles d’évolution, Thèse, LANLG, Université d’Avignon, 2009 (Disponible sur : http ://tel.archives-ouvertes.fr)

[10] J.-M. Clérin Équations d’État Bien Posées en Contrôle Bilinéaire, Rev. Roumaine Math. Pures et Appl., Volume 56 (2011) no. 2, p. 115-136 (electronic)

[11] I. M. Gel’fand; N. Ya. Vilenkin Generalized functions. Vol. 4 : Applications of harmonic analysis, Translated by Amiel Feinstein, Academic Press, New York, 1964 | MR | Zbl

[12] R. Griesse; B. Vexler Numerical sensitivity analysis for the quantity of interest in PDE-constrained optimization, SIAM J. Sci. Comput., Volume 29 (2007) no. 1, p. 22-48 (electronic) | DOI | MR

[13] K. Ito; K. Kunisch Augmented Lagrangian-SQP-methods in Hilbert spaces and application to control in the coefficients problems, SIAM J. Optim., Volume 6 (1996) no. 1, pp. 96-125 | DOI | MR | Zbl

[14] K. Ito; K. Kunisch Optimal bilinear control of an abstract Schrödinger equation, SIAM J. Control Optim., Volume 46 (2007) no. 1, p. 274-287 (electronic) | DOI | MR

[15] A. Y. Khapalov Controllability of the semilinear parabolic equation governed by a multiplicative control in the reaction term : a qualitative approach, SIAM J. Control Optim., Volume 41 (2003) no. 6, p. 1886-1900 (electronic) | DOI | MR

[16] H. Maurer; J. Zowe First and second order necessary and sufficient optimality conditions for infinite-dimensional programming problems, Math. Programming, Volume 16 (1979) no. 1, pp. 98-110 | DOI | MR | Zbl

[17] D. Trentin; J.-L. Guyaner Vibration of a master plate with attached masses using modal sampling method, J. Acoust. Soc. Am., Volume 96 (1994) no. 1, pp. 235-245 | DOI

[18] Y.-Y. Yu Vibrations of elastic plates, Springer, 1995

Cité par Sources :