Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés

David Mascré

doi:10.5802/ambp.300

David Mascré ¹

¹ Université de Cergy-Pontoise

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) no. 2, pp. 273-300.

Résumé

Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :

Etant donné $(X, ρ, μ)$ un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés $p, q, α \in R$ tels que $1 \leq p < 1 / α$ , $1 / q = 1 / p - α$ , $0 < α < 1$ , l’opérateur intégral fractionnaire $T_{α}$ défini en posant $T_{α} f (x) = \int_{X} V {(x, y)}^{α - 1} f (y) d μ (y)$ vérifie :

Si $p > 1$ , alors

T_{α} : L^{p} (X) \to L^{q} (X) .

Si $p = 1$ , alors

T_{α} : L^{1} (X) \to L^{q, \infty} (X) .

Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali $(X, ρ, μ)$ tel que $\forall x \in X$ ,

V (x, r) \leq c r^{d}, \forall r < 1 et V (x, r) \leq c r^{D}, \forall r \geq 1,

étant donné $p, q, a, n \in R$ tels que $1 \leq p < n / a$ , $1 / q = 1 / p - a / n$ , $d \leq n \leq D$ , étant donnée $k_{a} : X \times X \to R$ une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en $0$ et en $+ \infty$ ) suivantes

(i) $k_{a} (x, y) \leq c ρ {(x, y)}^{a - d} \forall x, y \in X$ tels que $ρ (x, y) < 1$ ,

(ii) $k_{a} (x, y) \leq c ρ {(x, y)}^{a - D} \forall x, y \in X$ tels que $ρ (x, y) \geq 1$ ,

l’opérateur intégral fractionnaire $I_{a}$ associé au noyau $k_{a}$ vérifie :

Si $p > 1$ ,

I_{a} : L^{p} (X) \to L^{q} (X) .

Si $p = 1$ ,

I_{a} : L^{1} (X) \to L^{q, \infty} (X) .

MR Zbl

DOI : 10.5802/ambp.300

Classification : 26A33, 26D10, 42B35

Affiliations des auteurs :

David Mascré ¹

¹ Université de Cergy-Pontoise

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David Mascré. Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) no. 2, pp. 273-300. doi : 10.5802/ambp.300. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.300/

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