Distribution of short sums of classical Kloosterman sums of prime powers moduli

Guillaume Ricotta

doi:10.5802/ambp.385

Distribution of short sums of classical Kloosterman sums of prime powers moduli
[Distribution des sommes courtes des sommes de Kloosterman classiques de module une puissance d’un nombre premier]

Guillaume Ricotta ¹

¹ Université de Bordeaux Institut de Mathématiques de Bordeaux 351, cours de la Libération 33405 Talence cedex FRANCE

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 101-117.

Résumé
Abstract

Dans [13], l’auteur démontre, sous des hypothèses très générales, que les sommes courtes des fonctions traces $ℓ$ -adiques sur des corps finis de centre variable convergent en loi vers une variable aléatoire gaussienne ou un vecteur aléatoire gaussien. Les ingrédients principaux sont le théorème d’équirépartition de P. Deligne, les travaux de N. Katz et les résultats présentés dans [3]. Ceci s’applique en particulier au sommes de Kloosterman ${Kl}_{2, 𝔽_{q}}$ de dimension $2$ étudiées par N. Katz dans [6] et [7] lorsque le corps $𝔽_{q}$ grandit.

Dans cet article, on considère le cas des sommes courtes des sommes de Kloosterman normalisées de module une puissance d’un nombre premier ${Kl}_{p^{n}}$ , lorsque $p$ tend vers l’infini parmi les nombres premiers et $n \geq 2$ est un entier fixé. Sous des hypothèses très naturelles, on démontre la convergence en loi vers une variable aléatoire gaussienne réelle standard.

In [13], the author proved, under some very general conditions, that short sums of $ℓ$ -adic trace functions over finite fields of varying center converges in law to a Gaussian random variable or vector. The main inputs are P. Deligne’s equidistribution theorem, N. Katz’ works and the results surveyed in [3]. In particular, this applies to $2$ -dimensional Kloosterman sums ${Kl}_{2, 𝔽_{q}}$ studied by N. Katz in [6] and in [7] when the field $𝔽_{q}$ gets large.

This article considers the case of short sums of normalized classical Kloosterman sums of prime powers moduli ${Kl}_{p^{n}}$ , as $p$ tends to infinity among the prime numbers and $n \geq 2$ is a fixed integer. A convergence in law towards a real-valued standard Gaussian random variable is proved under some very natural conditions.

Publié le : 2020-01-21

DOI : 10.5802/ambp.385

Classification : 11T23, 11L05
Mots clés : Kloosterman sums, moments

Affiliations des auteurs :

Guillaume Ricotta ¹

¹ Université de Bordeaux Institut de Mathématiques de Bordeaux 351, cours de la Libération 33405 Talence cedex FRANCE

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Guillaume Ricotta. Distribution of short sums of classical Kloosterman sums of prime powers moduli. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 101-117. doi : 10.5802/ambp.385. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.385/

Bibliographie
Cité par

[1] Rabi N. Bhattacharya; R. Ranga Rao Normal approximation and asymptotic expansions, Robert E. Krieger Publishing Co., 1986, xiv+291 pages (Reprint of the 1976 original) | MR | Zbl

[2] Harold Davenport; Pál Erdös The distribution of quadratic and higher residues, Publ. Math., Volume 2 (1952), pp. 252-265 | MR | Zbl

[3] Étienne Fouvry; Emmanuel Kowalski; Philippe Michel A study in sums of products, Philos. Trans. A, R. Soc. Lond., Volume 373 (2015) no. 2040, 20140309, 26 pages | DOI | MR | Zbl

[4] Allan Gut Probability: a graduate course, Springer Texts in Statistics, Springer, 2005, xxiv+603 pages | MR | Zbl

[5] Henryk Iwaniec; Emmanuel Kowalski Analytic number theory, Colloquium Publications, 53, American Mathematical Society, 2004, xii+615 pages | MR | Zbl

[6] Nicholas M. Katz Gauss sums, Kloosterman sums, and monodromy groups, Annals of Mathematics Studies, 116, Princeton University Press, 1988, x+246 pages | DOI | MR | Zbl

[7] Nicholas M. Katz Exponential sums and differential equations, Annals of Mathematics Studies, 124, Princeton University Press, 1990, xii+430 pages | DOI | MR | Zbl

[8] Emmanuel Kowalski Arithmetic randonnée. An introduction to probabilistic number theory (2016) (https://people.math.ethz.ch/~kowalski/probabilistic-number-theory.pdf)

[9] Youness Lamzouri The distribution of short character sums, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., Volume 155 (2013) no. 2, pp. 207-218 | DOI | MR | Zbl

[10] Youness Lamzouri Prime number races with three or more competitors, Math. Ann., Volume 356 (2013) no. 3, pp. 1117-1162 | DOI | MR | Zbl

[11] Kit-Ho Mak; Alexandru Zaharescu The distribution of values of short hybrid exponential sums on curves over finite fields, Math. Res. Lett., Volume 18 (2011) no. 1, pp. 155-174 | DOI | MR | Zbl

[12] Philippe Michel Minorations de sommes d’exponentielles, Duke Math. J., Volume 95 (1998) no. 2, pp. 227-240 | DOI | MR | Zbl

[13] Corentin Perret-Gentil Gaussian distribution of short sums of trace functions over finite fields, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., Volume 163 (2017) no. 3, pp. 385-422 | DOI | MR | Zbl

[14] Guillaume Ricotta; Emmanuel Royer Kloosterman paths of prime powers moduli, Comment. Math. Helv., Volume 93 (2018) no. 3, pp. 493-532 | DOI | MR | Zbl

[15] Guillaume Ricotta; Emmanuel Royer; Igor Shparlinski Kloosterman paths of prime powers moduli, II (https://arxiv.org/abs/1810.01150, to appear in Bull. Soc. Math. Fr.) | Zbl

Cité par Sources :