Quartic points on the Fermat quintic
[Points quartiques sur la quintique de Fermat]
Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 25 (2018) no. 1, pp. 199-205.

Nous étudions les points algébriques de degré 4 sur de la courbe de Fermat F 5 / d’équation x 5 +y 5 +z 5 =0. Klassen et Tzermias ont donné en 1997 une description géométrique de ces points. En utilisant leur résultat et le travail de Bruin portant sur les équations diophantiennes de signature (5,5,2), nous donnons une description algébrique de ces points. Nous prouvons en particulier qu’il existe une unique extension galoisienne de de degré 4 qui apparaît comme le corps de définition d’un point non trivial de F 5 .

We study the algebraic points of degree 4 over on the Fermat curve F 5 / of equation x 5 +y 5 +z 5 =0. A geometrical description of these points has been given in 1997 by Klassen and Tzermias. Using their result, as well as Bruin’s work about diophantine equations of signature (5,5,2), we give here an algebraic description of these points. In particular, we prove there is only one Galois extension of of degree 4 that arises as the field of definition of a non-trivial point of F 5 .

Publié le : 2018-07-01
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.374
Classification : 11D41,  11G30
Mots clés: Quintique de Fermat, corps de nombres, points rationnels
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     author = {Alain Kraus},
     title = {Quartic points on the Fermat quintic},
     journal = {Annales Math\'ematiques Blaise Pascal},
     publisher = {Universit\'e Clermont Auvergne, Laboratoire de math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {25},
     number = {1},
     year = {2018},
     pages = {199-205},
     doi = {10.5802/ambp.374},
     language = {en},
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Alain Kraus. Quartic points on the Fermat quintic. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 25 (2018) no. 1, pp. 199-205. doi : 10.5802/ambp.374. https://ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2018__25_1_199_0/

[1] Nils Bruin Chabauty methods and covering techniques applied to generalised Fermat equations (1999) http://www.cecm.sfu.ca/~nbruin/thesis.pdf (Ph. D. Thesis)

[2] Benedict H. Gross; David E. Rohrlich Some results on the Mordell-Weil group of the Jacobian of the Fermat curve, Invent. Math., Volume 44 (1978) no. 3, pp. 201-224 | Article | MR 0491708 | Zbl 0369.14011

[3] Wilfrid Ivorra Sur les équations x p +2 β y p =z 2 et x p +2 β y p =2z 2 , Acta Arith., Volume 108 (2003) no. 4, pp. 327-338 | Article | MR 1979902 | Zbl 1026.11035

[4] Matthew Klassen; Pavlos Tzermias Algebraic points of low degree on the Fermat quintic, Acta Arith., Volume 82 (1997) no. 4, pp. 393-401 | Article | MR 1483691 | Zbl 0917.11022

[5] Thiéyacine Top; Oumar Sall Points algébriques de degrés au plus 12 sur la quintique de Fermat, Acta Arith., Volume 169 (2015) no. 4, pp. 385-395 | Article | MR 3371767 | Zbl 1346.11038