La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers

Abdelmadjid Boudaoud

doi:10.5802/ambp.215

Abdelmadjid Boudaoud

Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 13 (2006) no. 1, pp. 103-109.

Résumé
Abstract

En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q > 0$ et $k > 0$ , il existe une partie infinie $L_{q, k} \subset ℕ$ telle que, pour chacun des entiers $n \in L_{q, k}$ et tout entier $s$ tel que $0 < |s| \leq q$ , on ait $n + s = |s| t_{1} . . . t_{k}$ où $t_{1} < . . . < t_{k}$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q > 0$ et $k > 0$ , il existe une partie infinie $M_{q, k} \subset ℕ$ telle que, pour chacun des entiers $n \in M_{q, k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $[- q, q]$ , on ait $n + s = l t_{1} . . . t_{k}$ où $t_{1} < . . . < t_{k}$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $[1, 2 q + 1]$ . La lecture non standard de ce résultat nous suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités.

As a consequence of Dickson’s Conjecture, we prove, for each couple of integers $q > 0$ and $k > 0$ , the existence of an infinite set $L_{q, k} \subset ℕ$ such that, for each $n \in L_{q, k}$ and every integer $s$ , $0 < |s| \leq q$ , we have $n + s = |s| t_{1} . . . t_{k}$ where $t_{1} < . . . < t_{k}$ are prime numbers. Similarly, we prove the existence of an infinite set $M_{q, k} \subset ℕ$ such that , for each $n \in M_{q, k}$ and every integer $s \in [- q, q]$ (including $0$ ), we have $n + s = l t_{1} . . . t_{k}$ where $t_{1} < . . . < t_{k}$ are prime numbers and $l \in [1, 2 q + 1]$ is an integer. The nonstandard interpretation of this result suggests the following question: Is every unlimited integer equal to the sum of a limited integer and a product of two unlimited integers ? We present families of integers in which each unlimited member is a product of two unlimited integers.

MR 2233013 | Zbl 1172.11307

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.215
Classification : 11N32, 26E35, 11A51, 11A41, 11B83
Mots clés : Conjecture de Dickson, analyse non standard, nombres premiers, suites d’entiers naturels.

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Abdelmadjid Boudaoud. La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 13 (2006) no. 1, pp. 103-109. doi : 10.5802/ambp.215. https://ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2006__13_1_103_0/

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