Root systems, symmetries and linear representations of Artin groups

Olivier Geneste; Jean-Yves Hée; Luis Paris

doi:10.5802/ambp.381

Olivier Geneste ¹; Jean-Yves Hée ²; Luis Paris ¹

¹ IMB, UMR 5584, CNRS Université Bourgogne Franche-Comté 21000 Dijon FRANCE
² LAMFA, UMR 7352, CNRS Université de Picardie Jules Verne 80039 Amiens FRANCE

Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 26 (2019) no. 1, pp. 25-54.

Abstract
Résumé

Let $Γ$ be a Coxeter graph, let $W$ be its associated Coxeter group, and let $G$ be a group of symmetries of $Γ$ . Recall that, by a theorem of Hée and Mühlherr, $W^{G}$ is a Coxeter group associated to some Coxeter graph $\hat{Γ}$ . We denote by $Φ^{+}$ the set of positive roots of $Γ$ and by ${\hat{Φ}}^{+}$ the set of positive roots of $\hat{Γ}$ . Let $E$ be a vector space over a field $𝕂$ having a basis in one-to-one correspondence with $Φ^{+}$ . The action of $G$ on $Γ$ induces an action of $G$ on $Φ^{+}$ , and therefore on $E$ . We show that $E^{G}$ contains a linearly independent family of vectors naturally in one-to-one correspondence with ${\hat{Φ}}^{+}$ and we determine exactly when this family is a basis of $E^{G}$ . This question is motivated by the construction of Krammer’s style linear representations for non simply laced Artin groups.

Soient $Γ$ un graphe de Coxeter, $W$ son groupe de Coxeter associé et $G$ un groupe de symétries de $Γ$ . Rappelons que, par un théorème de Hée et Mühlherr, $W^{G}$ est un groupe de Coxeter associé à un certain graphe de Coxeter $\hat{Γ}$ . On note $Φ^{+}$ l’ensemble des racines positives de $Γ$ et ${\hat{Φ}}^{+}$ l’ensemble des racines positives de $\hat{Γ}$ . Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $𝕂$ ayant une base en bijection avec $Φ^{+}$ . L’action de $G$ sur $Γ$ induit une action de $G$ sur $Φ^{+}$ , et donc sur $E$ . Nous montrons que $E^{G}$ contient une famille libre de vecteurs naturellement en bijection avec ${\hat{Φ}}^{+}$ et nous déterminons exactement quand cette famille est une base de $E^{G}$ . Cette question est motivée par la construction de représentations linéaires à la Krammer de groupes d’Artin non simplement lacés.

Published online: 2020-01-21

DOI: 10.5802/ambp.381

Classification: 20F36
Keywords: Artin group, linear representation, Coxeter group, root system
Mot clés : Groupe d’Artin, représentation linéaire, groupe de Coxeter, système de racines

Author's affiliations:

Olivier Geneste ¹; Jean-Yves Hée ²; Luis Paris ¹

¹ IMB, UMR 5584, CNRS Université Bourgogne Franche-Comté 21000 Dijon FRANCE
² LAMFA, UMR 7352, CNRS Université de Picardie Jules Verne 80039 Amiens FRANCE

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CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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