Approche $p$-adique de la conjecture de Greenberg  pour les corps totalement réels

Georges Gras

doi:10.5802/ambp.370

Approche

p

-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels
[

p

-adic approach of Greenberg’s conjecture for totally real fields]

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette, Chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans, France https://www.researchgate.net/profile/Georges_Gras

Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 24 (2017) no. 2, pp. 235-291.

Abstract
Résumé

Let $k$ be a totally real number field ant let $k_{\infty}$ be its cyclotomic $ℤ_{p}$ -extension for a prime $p > 2$ . We give (Theorem 3.4) a sufficient condition of nullity of the Iwasawa invariants $λ, μ$ , when $p$ totally splits in $k$ , and we obtain important tables of quadratic fields and $p$ for which we can conclude that $λ = μ = 0$ . We show that the number of ambiguous $p$ -classes of $k_{n}$ ( $n$ th stage in $k_{\infty}$ ) is equal to the order of the torsion group $𝒯_{k}$ , of the Galois group of the maximal Abelian $p$ -ramified pro- $p$ -extension of $k$ (Theorem 4.7), for all $n \geq e$ , where $p^{e}$ is the exponent of $U_{k}^{*} / {\bar{E}}_{k}$ (in terms of local and global units). Then we establish analogs of Chevalley’s formula using a family ${(Λ_{i}^{n})}_{0 \leq i \leq m_{n}}$ of subgroups of $k^{\times}$ containing $E_{k}$ , in which any $x$ is norm of an ideal of $k_{n}$ . This family is attached to the classical filtration of the $p$ -class group of $k_{n}$ defining the algorithm of computation of its order in $m_{n}$ steps. From this, we prove (Theorem 6.3) that $m_{n} \geq (λ \cdot n + μ \cdot p^{n} + ν) / v_{p} (# 𝒯_{k})$ and that the condition $m_{n} = O (1)$ (i.e., $λ = μ = 0$ ) essentially depends on the $𝔭$ -adic valuations of the $\frac{x^{p - 1} - 1}{p}$ , $x \in Λ_{i}^{n}$ , for $𝔭 ∣ p$ , so that Greenberg’s conjecture is strongly related to “Fermat quotients” in $k^{\times}$ . Heuristics and statistical analysis of these Fermat quotients (Sections 6, 7, 8) show that they follow natural probabilities, linked to $𝒯_{k}$ whatever $n$ , suggesting that $λ = μ = 0$ (Heuristics 7.5, 7.6, 7.10).

This would imply that, for a proof of Greenberg’s conjecture, some deep $p$ -adic results (probably out of reach now), having some analogy with Leopoldt’s conjecture, are necessary before referring to the sole algebraic Iwasawa theory.

Soit $k$ un corps de nombres totalement réel et soit $k_{\infty}$ sa $ℤ_{p}$ -extension cyclotomique pour un premier $p > 2$ . Nous donnons (Théorème 3.4) une condition suffisante de nullité des invariants d’Iwasawa $λ, μ$ , lorsque $p$ est totalement décomposé dans $k$ , et nous obtenons d’importantes tables de corps quadratiques et $p$ pour lesquels on peut conclure que $λ = μ = 0$ . Nous montrons que le nombre de $p$ -classes ambiges de $k_{n}$ ( $n$ -ième étage dans $k_{\infty}$ ) est égal à l’ordre du groupe de torsion $𝒯_{k}$ du groupe de Galois de la pro- $p$ -extension Abélienne $p$ -ramifiée maximale de $k$ (Théorème 4.7), pour tout $n \geq e$ , où $p^{e}$ est l’exposant de $U_{k}^{*} / {\bar{E}}_{k}$ (en termes d’unités locales et globales). Puis nous établissons des analogues de la formule de Chevalley en utilisant une famille ${(Λ_{i}^{n})}_{0 \leq i \leq m_{n}}$ de sous-groupes de $k^{\times}$ contenant $E_{k}$ , dans lesquels tout $x$ est norme d’un idéal de $k_{n}$ . Cette famille est attachée à la filtration classique du $p$ -groupe des classes de $k_{n}$ définissant l’algorithme de calcul de son ordre en $m_{n}$ pas. À partir de cela, nous montrons (Théorème 6.3) que $m_{n} \geq (λ \cdot n + μ \cdot p^{n} + ν) / v_{p} (# 𝒯_{k})$ et que la condition $m_{n} = O (1)$ (i.e., $λ = μ = 0$ ) dépend essentiellement des valuations $𝔭$ -adiques des $\frac{x^{p - 1} - 1}{p}$ , $x \in Λ_{i}^{n}$ , pour $𝔭 ∣ p$ , de sorte que la conjecture de Greenberg est fortement dépendante de « quotients de Fermat » dans $k^{\times}$ . Des heuristiques et statistiques sur ces quotients de Fermat (Sections 6, 7, 8) montrent qu’ils suivent des lois de probabilités naturelles, liées à $𝒯_{k}$ quel que soit $n$ , suggérant que $λ = μ = 0$ (Heuristiques 7.5, 7.6, 7.10).

Ceci impliquerait que, pour une preuve de la conjecture de Greenberg, certains résultats $p$ -adiques profonds (probablement inaccessibles actuellement), ayant une certaine analogie avec la conjecture de Leopoldt, sont nécessaires avant toute référence à la seule théorie d’Iwasawa algébrique.

Published online: 2017-11-20

DOI: 10.5802/ambp.370

Classification: 11R23, 11R29, 11R37, 11Y40
Keywords: Greenberg’s conjecture, Iwasawa’s theory, $p$-class groups, class field theory, Fermat quotients, $p$-adic regulators, Leopoldt’s conjecture

Author's affiliations:

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette, Chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans, France https://www.researchgate.net/profile/Georges_Gras

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Georges Gras. Approche $p$-adique de la conjecture de Greenberg  pour les corps totalement réels. Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 24 (2017) no. 2, pp. 235-291. doi : 10.5802/ambp.370. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.370/

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