Approche $p$-adique de la conjecture de Greenberg  pour les corps totalement réels

Georges Gras

doi:10.5802/ambp.370

Approche

p

-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette, Chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans, France https://www.researchgate.net/profile/Georges_Gras

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 24 (2017) no. 2, pp. 235-291.

Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps de nombres totalement réel et soit $k_{\infty}$ sa $ℤ_{p}$ -extension cyclotomique pour un premier $p > 2$ . Nous donnons (Théorème 3.4) une condition suffisante de nullité des invariants d’Iwasawa $λ, μ$ , lorsque $p$ est totalement décomposé dans $k$ , et nous obtenons d’importantes tables de corps quadratiques et $p$ pour lesquels on peut conclure que $λ = μ = 0$ . Nous montrons que le nombre de $p$ -classes ambiges de $k_{n}$ ( $n$ -ième étage dans $k_{\infty}$ ) est égal à l’ordre du groupe de torsion $𝒯_{k}$ du groupe de Galois de la pro- $p$ -extension Abélienne $p$ -ramifiée maximale de $k$ (Théorème 4.7), pour tout $n \geq e$ , où $p^{e}$ est l’exposant de $U_{k}^{*} / {\bar{E}}_{k}$ (en termes d’unités locales et globales). Puis nous établissons des analogues de la formule de Chevalley en utilisant une famille ${(Λ_{i}^{n})}_{0 \leq i \leq m_{n}}$ de sous-groupes de $k^{\times}$ contenant $E_{k}$ , dans lesquels tout $x$ est norme d’un idéal de $k_{n}$ . Cette famille est attachée à la filtration classique du $p$ -groupe des classes de $k_{n}$ définissant l’algorithme de calcul de son ordre en $m_{n}$ pas. À partir de cela, nous montrons (Théorème 6.3) que $m_{n} \geq (λ \cdot n + μ \cdot p^{n} + ν) / v_{p} (# 𝒯_{k})$ et que la condition $m_{n} = O (1)$ (i.e., $λ = μ = 0$ ) dépend essentiellement des valuations $𝔭$ -adiques des $\frac{x^{p - 1} - 1}{p}$ , $x \in Λ_{i}^{n}$ , pour $𝔭 ∣ p$ , de sorte que la conjecture de Greenberg est fortement dépendante de « quotients de Fermat » dans $k^{\times}$ . Des heuristiques et statistiques sur ces quotients de Fermat (Sections 6, 7, 8) montrent qu’ils suivent des lois de probabilités naturelles, liées à $𝒯_{k}$ quel que soit $n$ , suggérant que $λ = μ = 0$ (Heuristiques 7.5, 7.6, 7.10).

Ceci impliquerait que, pour une preuve de la conjecture de Greenberg, certains résultats $p$ -adiques profonds (probablement inaccessibles actuellement), ayant une certaine analogie avec la conjecture de Leopoldt, sont nécessaires avant toute référence à la seule théorie d’Iwasawa algébrique.

Let $k$ be a totally real number field ant let $k_{\infty}$ be its cyclotomic $ℤ_{p}$ -extension for a prime $p > 2$ . We give (Theorem 3.4) a sufficient condition of nullity of the Iwasawa invariants $λ, μ$ , when $p$ totally splits in $k$ , and we obtain important tables of quadratic fields and $p$ for which we can conclude that $λ = μ = 0$ . We show that the number of ambiguous $p$ -classes of $k_{n}$ ( $n$ th stage in $k_{\infty}$ ) is equal to the order of the torsion group $𝒯_{k}$ , of the Galois group of the maximal Abelian $p$ -ramified pro- $p$ -extension of $k$ (Theorem 4.7), for all $n \geq e$ , where $p^{e}$ is the exponent of $U_{k}^{*} / {\bar{E}}_{k}$ (in terms of local and global units). Then we establish analogs of Chevalley’s formula using a family ${(Λ_{i}^{n})}_{0 \leq i \leq m_{n}}$ of subgroups of $k^{\times}$ containing $E_{k}$ , in which any $x$ is norm of an ideal of $k_{n}$ . This family is attached to the classical filtration of the $p$ -class group of $k_{n}$ defining the algorithm of computation of its order in $m_{n}$ steps. From this, we prove (Theorem 6.3) that $m_{n} \geq (λ \cdot n + μ \cdot p^{n} + ν) / v_{p} (# 𝒯_{k})$ and that the condition $m_{n} = O (1)$ (i.e., $λ = μ = 0$ ) essentially depends on the $𝔭$ -adic valuations of the $\frac{x^{p - 1} - 1}{p}$ , $x \in Λ_{i}^{n}$ , for $𝔭 ∣ p$ , so that Greenberg’s conjecture is strongly related to “Fermat quotients” in $k^{\times}$ . Heuristics and statistical analysis of these Fermat quotients (Sections 6, 7, 8) show that they follow natural probabilities, linked to $𝒯_{k}$ whatever $n$ , suggesting that $λ = μ = 0$ (Heuristics 7.5, 7.6, 7.10).

This would imply that, for a proof of Greenberg’s conjecture, some deep $p$ -adic results (probably out of reach now), having some analogy with Leopoldt’s conjecture, are necessary before referring to the sole algebraic Iwasawa theory.

Publié le : 2017-11-20

DOI : 10.5802/ambp.370

Classification : 11R23, 11R29, 11R37, 11Y40
Mots clés : Greenberg’s conjecture, Iwasawa’s theory, $p$-class groups, class field theory, Fermat quotients, $p$-adic regulators, Leopoldt’s conjecture

Affiliations des auteurs :

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette, Chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans, France https://www.researchgate.net/profile/Georges_Gras

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Georges Gras. Approche $p$-adique de la conjecture de Greenberg  pour les corps totalement réels. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 24 (2017) no. 2, pp. 235-291. doi : 10.5802/ambp.370. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.370/

Bibliographie
Cité par

[1] Jilali Assim; Thong Nguyen Quang Do Sur la constante de Kummer-Leopoldt d’un corps de nombres, Manuscr. Math., Volume 115 (2004) no. 1, pp. 55-72 https://www.researchgate.net/publication/225914673 | DOI | MR | Zbl

[2] Raphaël Badino; Thong Nguyen Quang Do Sur les égalités du miroir et certaines formes faibles de la conjecture de Greenberg, Manuscr. Math., Volume 116 (2005) no. 3, pp. 323-340 https://www.researchgate.net/publication/226875893 | DOI | MR | Zbl

[3] Karim Belabas; Jean-François Jaulent The logarithmic class group package in PARI/GP, Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (Publications Mathématiques de la Faculté des Sciences de Besançon), Volume 2016, Presses Universitaires de Franche-Comté, 2016, pp. 5-18 | Zbl

[4] Jean-Robert Belliard; Thong Nguyen Quang Do On modified circular units and annihilation of real classes, Nagoya Math., Volume 177 (2005), pp. 77-115 http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1114632159 | DOI | MR | Zbl

[5] Luca Caputo; Filippo Alberto Edoardo Nuccio A criterion for Greenberg’s conjecture, Proc. Am. Math. Soc., Volume 136 (2008) no. 8, pp. 2741-2744 http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-08/S0002-9939-08-09283-6/S0002-9939-08-09283-6.pdf | DOI | MR | Zbl

[6] John Coates $p$ -adic $L$ -functions and Iwasawa’s theory, Algebraic number fields : $L$ -functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Academic Press, London, 1977, pp. 269-353 | MR | Zbl

[7] Albert A. Cuoco Generalized Iwasawa invariants in a family, Compos. Math., Volume 51 (1984) no. 1, pp. 89-103 | MR | Zbl

[8] Takashi Fukuda Cyclotomic units and Greenberg’s conjecture for real quadratic fields, Math. Comput., Volume 65 (1996) no. 215, pp. 1339-1348 http://www.ams.org/journals/mcom/1996-65-215/S0025-5718-96-00730-2/S0025-5718-96-00730-2.pdf | DOI | MR | Zbl

[9] Takashi Fukuda Greenberg’s conjecture and relative unit groups for real quadratic fields, J. Number Theory, Volume 65 (1997) no. 1, pp. 23-39 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X97921260 | DOI | MR | Zbl

[10] Takashi Fukuda; Keiichi Komatsu On $ℤ_{p}$ -extensions of real quadratic fields, J. Math. Soc. Japan, Volume 38 (1986) no. 1, pp. 95-102 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jmath1948/38/1/38_1_95/_pdf | DOI | MR | Zbl

[11] Takashi Fukuda; Hisao Taya Computational research on Greenberg’s conjecture for real quadratic fields, Mem. Sch. Sci. Eng. Waseda Univ. (1994) no. 58, p. 175-203 (1995) | MR | Zbl

[12] Takashi Fukuda; Hisao Taya The Iwasawa $λ$ -invariants of $ℤ_{p}$ -extensions of real quadratic fields, Acta Arith., Volume 69 (1995) no. 3, pp. 277-292 http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa69/aa6936.pdf | DOI | MR | Zbl

[13] Georges Gras Sur les $l$ -classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $l$ ., Ann. Inst. Fourier, Volume 23 (1973) no. 3 et 4, p. 1-48 et p. 1–44 | DOI | MR

[14] Georges Gras Nombre de $ϕ$ -classes invariantes. Application aux classes des corps abéliens, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 106 (1978) no. 4, pp. 337-364 | DOI | MR | Zbl

[15] Georges Gras Classes généralisées invariantes, J. Math. Soc. Japan, Volume 46 (1994) no. 3, pp. 467-476 http://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1227104692 | DOI | MR | Zbl

[16] Georges Gras Class field theory : From theory to practice, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2005, xiv+491 pages (Second corrected printing) | DOI | MR

[17] Georges Gras Les $θ$ -régulateurs locaux d’un nombre algébrique : conjectures $p$ -adiques, Can. J. Math., Volume 68 (2016) no. 3, pp. 571-624 | DOI | MR | Zbl

[18] Georges Gras Invariant generalized ideal classes – structure theorems for $p$ -class groups in $p$ -extensions, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., Volume 127 (2017) no. 1, pp. 1-34 | DOI | MR | Zbl

[19] Georges Gras The p-adic Kummer–Leopoldt constant – Normalized p-adic regulator (2017) (https://arxiv.org/abs/1701.06857, to appear in Int. J. Number Theory)

[20] Georges Gras; Jean-François Jaulent Sur les corps de nombres réguliers, Math. Z., Volume 202 (1989) no. 3, pp. 343-365 https://eudml.org/doc/174095 | DOI | MR | Zbl

[21] Ralph Greenberg On the Iwasawa invariants of totally real number fields, Am. J. Math., Volume 98 (1976) no. 1, pp. 263-284 http://www.jstor.org/stable/2373625 | DOI | MR | Zbl

[22] Farshid Hajir; Christian Maire Prime decomposition and the Iwasawa mu-invariant (2016) (https://arxiv.org/abs/1601.04195)

[23] D. Roger Heath-Brown An estimate for Heilbronn’s exponential sum, Analytic number theory, Vol. 2 (Allerton Park, IL, 1995) (Progr. Math.), Volume 139, Birkhäuser, 1996, pp. 451-463 | MR | Zbl

[24] Humio Ichimura; Hiroki Sumida On the Iwasawa invariants of certain real abelian fields. II, Int. J. Math., Volume 7 (1996) no. 6, pp. 721-744 http://www.worldscientific.com/doi/pdfplus/10.1142/S0129167X96000384 | DOI | MR | Zbl

[25] Humio Ichimura; Hiroki Sumida On the Iwasawa invariants of certain real abelian fields, Tohoku Math. J., Volume 49 (1997) no. 2, pp. 203-215 http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.tmj/1178225147 | DOI | Zbl

[26] Akira Inatomi On $ℤ_{p}$ -extensions of real abelian fields, Kodai Math. J., Volume 12 (1989) no. 3, pp. 420-422 http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.kmj/1138039105 | DOI | MR | Zbl

[27] Kenkichi Iwasawa On the $μ$ -invariants of $ℤ_{ℓ}$ -extensions, Number theory, algebraic geometry and commutative algebra, in honor of Yasuo Akizuki (1973), pp. 1-11 | MR | Zbl

[28] Jean-François Jaulent L’arithmétique des $ℓ$ -extensions, Publications Mathématiques de la Faculté des Sciences de Besançon, Université de Franche-Comté, Faculté des Sciences, Besançon, 1986, viii+349 pages (Dissertation, Université de Franche-Comté, Besançon, 1986, Théorie des nombres. Fasc. 1. 1984–1986 http://pmb.univ-fcomte.fr/1986/Jaulent_these.pdf) | MR | Zbl

[29] Jean-François Jaulent Théorie $ℓ$ -adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordx, Volume 10 (1998) no. 2, pp. 355-397 http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_1998__10_2_355_0 | DOI | MR | Zbl

[30] Jean-François Jaulent Normes cyclotomiques naïves et unités logarithmiques (2016) (http://arxiv.org/abs/1609.01901)

[31] Jean-François Jaulent Note sur la conjecture de Greenberg (2016) (https://arxiv.org/abs/1612.00718)

[32] Jean-François Jaulent; Thong Nguyen Quang Do Corps $p$ -rationnels, corps $p$ -réguliers, et ramification restreinte, J. Théor. Nombres Bordx, Volume 5 (1993) no. 2, pp. 343-363 http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_1993__5_2_343_0 | DOI | MR | Zbl

[33] James S. Kraft; René Schoof Computing Iwasawa modules of real quadratic number fields, Compos. Math., Volume 97 (1995) no. 1-2, pp. 135-155 Special issue in honour of Frans Oort. Erratum in ibid. 103 (1996), no. 2, p. 241 | MR | Zbl

[34] Matthieu Le Floc’h; Abbas Movahhedi; Thong Nguyen Quang Do On capitulation cokernels in Iwasawa theory, Am. J. Math., Volume 127 (2005) no. 4, pp. 851-877 http://www.unilim.fr/pages_perso/matthieu.lefloch/coker3.pdf | DOI | MR | Zbl

[35] Abbas Movahhedi; Thong Nguyen Quang Do Sur l’arithmétique des corps de nombres $p$ -rationnels, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1987–88 (Progr. Math.), Volume 81, Birkhäuser, 1990, pp. 155-200 https://www.researchgate.net/publication/236865321 | MR | Zbl

[36] Thong Nguyen Quang Do Sur la conjecture faible de Greenberg dans le cas abélien $p$ -décomposé, Int. J. Number Theory, Volume 2 (2006) no. 1, pp. 49-64 http://www.worldscientific.com/doi/pdf/10.1142/S1793042106000395 | DOI | MR | Zbl

[37] Thong Nguyen Quang Do Formules de genres et conjectures de Greenberg, Ann. Math. Québec (2017) (https://doi.org/10.1007/s40316-017-0093-y) | DOI

[38] Thong Nguyen Quang Do Sur une forme faible de la conjecture de Greenberg II, Int. J. Number Theory, Volume 13 (2017) no. 4, pp. 1061-1070 | DOI | MR | Zbl

[39] Yoshinori Nishino On the Iwasawa invariants of the cyclotomic $ℤ_{2}$ -extensions of certain real quadratic fields, Tokyo J. Math., Volume 29 (2006) no. 1, pp. 239-245 https://projecteuclid.org/euclid.tjm/1166661877 | DOI | MR | Zbl

[40] Manabu Ozaki; Hisao Taya A note on Greenberg’s conjecture for real abelian number fields, Manuscr. Math., Volume 88 (1995) no. 3, pp. 311-320 http://link.springer.com/article/10.1007/BF02567825 | DOI | MR | Zbl

[41] Jean-Pierre Serre Sur le résidu de la fonction zêta $p$ -adique d’un corps de nombres, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Volume 287 (1978) no. 4, p. A183-A188 | MR | Zbl

[42] Jean-Pierre Serre Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. (1981) no. 54, pp. 323-401 http://archive.numdam.org/article/PMIHES_1981__54__123_0.pdf | MR | Zbl

[43] Jean-Pierre Serre Corps locaux, Actualités Scientifiques et Industrielles, 1296, Hermann, 2004, 245 pages | MR | Zbl

[44] Warren M. Sinnott On $p$ -adic $L$ -functions and the Riemann-Hurwitz genus formula, Compos. Math., Volume 53 (1984) no. 1, pp. 3-17 | MR | Zbl

[45] Hiroki Sumida On capitulation of $S$ -ideals in $ℤ_{p}$ -extensions, J. Number Theory, Volume 86 (2001) no. 1, pp. 163-174 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X00925617 | DOI | MR | Zbl

[46] Hisao Taya On cyclotomic $ℤ_{p}$ -extensions of real quadratic fields, Acta Arith., Volume 74 (1996) no. 2, pp. 107-119 http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa74/aa7422.pdf | DOI | MR | Zbl

[47] Hisao Taya On $p$ -adic zeta functions and $ℤ_{p}$ -extensions of certain totally real number fields, Tohoku Math. J., Volume 51 (1999) no. 1, pp. 21-33 https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1949/51/1/51_1_21/_pdf | DOI | MR | Zbl

[48] Hisao Taya Iwasawa $λ_{5}$ and $μ_{5}$ -invariants of a totally real cubic field with discriminant $1396$ , Bulletin of Miyagi University of Education, Volume 49 (2015), pp. 91-94 http://id.nii.ac.jp/1138/00000408/

[49] The PARI Group PARI/GP version 2.9.0, 2016 (available from http://pari.math.u-bordeaux.fr/)

[50] Lawrence C. Washington Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83, Springer, 1997, xiv+487 pages | DOI | MR | Zbl

[51] Hiroshi Yamashita On the Iwasawa invariants of totally real number fields, Manuscr. Math., Volume 79 (1993) no. 1, pp. 1-5 http://www.digizeitschriften.de/download/PPN365956996_0079/PPN365956996_0079___log4.pdf | DOI | MR | Zbl

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