[Existence de solutions fortes pour le système de Korteweg]
Ce travail est consacré à l’étude d’un modèle de fluide compressible non isotherme avec un terme de capillarité dérivé par J. E Dunn et J. Serrin (1985) dans [9, 16], qui peut-être utilisé comme un modèle de transition de phase.
Nous distinguons deux cas en fonction que les coefficients physiques ne dépendent que de la densité ou non. Dans le premier cas nous travaillons dans des espaces critiques et prouvons l’existence de solutions fortes proches d’un état d’équilibre. Pour des données grandes on montre l’existence et l’unicité de solutions en temps fini.
Dans le cas général où les coefficients physiques dépendent à la fois de la densité et de la température, des données initiales plus régulières sont nécessaires afin de contrôler la norme de la température. Nous prouvons alors l’existence de solutions fortes globales avec données petites ainsi que l’existence de solutions fortes avec données initiales grandes sur un intervalle de temps fini.
This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general non isothermal model of capillary fluids derived by J. E Dunn and J. Serrin (1985) in [9, 16], which can be used as a phase transition model.
We distinguish two cases, when the physical coefficients depend only on the density, and the general case. In the first case we can work in critical scaling spaces, and we prove global existence of solution and uniqueness for data close to a stable equilibrium. For general data, existence and uniqueness is stated on a short time interval.
In the general case with physical coefficients depending on density and on temperature, additional regularity is required to control the temperature in norm. We prove global existence of solution close to a stable equilibrium and local in time existence of solution with more general data. Uniqueness is also obtained.
Keywords: PDE, Harmonic analysis
Mot clés : PDE, Harmonic analysis
Boris Haspot 1
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Boris Haspot. Existence of strong solutions for nonisothermal Korteweg system. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 2, pp. 431-481. doi : 10.5802/ambp.274. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.274/
[1] Diffuse-interface methods in fluid mech., In Annal review of fluid mechanics, Volume 30 (1998), pp. 139-165 | DOI
[2] Équations d’ondes quasilinéaires et estimation de Strichartz, Amer. J. Mathematics, Volume 121 (1999), pp. 1337-1377 | DOI | MR | Zbl
[3] Réalisations des espaces de Besov homogènes, Arkiv für Mathematik, Volume 26 (1998), pp. 41-54 | DOI | MR | Zbl
[4] Free energy of a nonuniform system, I. Interfacial free energy, J. Chem. Phys, Volume 28 (1998), pp. 258-267 | DOI
[5] About Navier-Stokes system (1996) (Prépublication du Laboratoire d’Analyse Numérique de Paris 6, R96023)
[6] Théorèmes d’unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel, J. d’Analyse Math, Volume 77 (1999), pp. 27-50 | DOI | MR | Zbl
[7] Local Theory in critical Spaces for Compressible Viscous and Heat-Conductive Gases, Communication in Partial Differential Equations, Volume 26 (78) (2001), pp. 1183-1233 | DOI | MR | Zbl
[8] Existence of solutions for compressible fluid models of Korteweg type, Annales de l’IHP, Analyse non linéaire, Volume 18 (2001), pp. 97-133 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[9] On the thermomechanics of interstitial working, Arch. Rational Mech. Anal, Volume 88(2) (1985), pp. 95-133 | MR | Zbl
[10] Two-phases binary fluids and immiscible fluids described by an order parameter, Math. Models Methods Appl. Sci, Volume 6(6) (1996), pp. 815-831 | DOI | MR | Zbl
[11] The existence of global solutions to a fluid dynamic model for materials for Korteweg type, J. Partial Differential Equations, Volume 9(4) (1996), pp. 323-342 | MR | Zbl
[12] Global Solutions of a high-dimensional system for Korteweg materials, J. Math. Anal. Appl, Volume 198(1) (1996), pp. 84-97 | DOI | MR | Zbl
[13] The second gradient method for the direct numerical simulation of liquid-vapor flows with phase change, J. Comput. Phys, Volume 169(2) (2001), pp. 624-651 | DOI | MR | Zbl
[14] Sur la forme que prennent les équations du mouvement des fluides si l’on tient compte des forces capillaires par des variations de densité, Arch. Néer. Sci. Exactes Sér, Volume II, 6 (1901), pp. 1-24
[15] Ondelettes et opérateurs, tome 3, Hermann, Paris, 1991 | MR | Zbl
[16] Translation of J. D. Van Der Waals, The thermodynamic theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density, J. Statist. Phys., Volume 20(2) (1979), pp. 197-244 | DOI | MR
[17] The nonlinear field theories of mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1992 | MR | Zbl
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