Annales Mathématiques
Blaise Pascal
no. 1
Isoperimetric stability of boundary barycenters in the plane
[Stabilité isopérimétrique des barycentres de frontière dans le plan]
Laurent Miclo
Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 67-80.

Considérons un domaine planaire ouvert D dont le déficit isopérimétrique est plus petit que 1. Cette note montre que la différence entre le barycentre de D et celui de sa frontière est majoré en norme par le déficit isopérimétrique à la puissance 1/4, à une constante multiplicative près. Cette puissance peut être améliorée en 1/2 quand D est de plus supposé être convexe, dans tout espace euclidien de dimension au moins 2.

Consider an open domain D on the plane, whose isoperimetric deficit is smaller than 1. This note shows that the difference between the barycenter of D and the barycenter of its boundary is bounded above by a constant times the isoperimetric deficit to the power 1/4. This power can be improved to 1/2, when D is furthermore assumed to be a convex domain, in any Euclidean space of dimension larger than 2.

Publié le : 2020-01-21
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.383
Classification : 51M04,  51M25,  51M16,  52A20,  52A40,  41A25
Mots clés: Inégalité isopérimétrique planaire, déficit isopérimétrique, barycentre de frontière, domaines convexes, stabilité isopérimétrique 
@article{AMBP_2019__26_1_67_0,
     author = {Laurent Miclo},
     title = {Isoperimetric stability of boundary barycenters in the plane},
     journal = {Annales Math\'ematiques Blaise Pascal},
     publisher = {Universit\'e Clermont Auvergne, Laboratoire de math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {26},
     number = {1},
     year = {2019},
     pages = {67-80},
     doi = {10.5802/ambp.383},
     language = {en},
     url = {ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2019__26_1_67_0/}
}
Miclo, Laurent. Isoperimetric stability of boundary barycenters in the plane. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 67-80. doi : 10.5802/ambp.383. https://ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2019__26_1_67_0/

[1] Tommy Bonnesen Sur une amélioration de l’inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d’une inégalité de Minkowski, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Tome 172 (1921), pp. 1087-1089 | Zbl 48.0839.01

[2] Yury D. Burago; Viktor A. Zalgaller Geometric inequalities, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tome 285, Springer, 1988, xiv+331 pages (Translated from the Russian by A. B. Sosinskiĭ) | Article | MR 936419 | Zbl 0633.53002

[3] Kolélè Coulibaly-Pasquier; Laurent Miclo On the evolution by duality of domains on manifolds (2019) (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02009885/file/evolving.pdf)

[4] Nicola Fusco The quantitative isoperimetric inequality and related topics, Bull. Math. Sci., Tome 5 (2015) no. 3, pp. 517-607 | Article | MR 3404715 | Zbl 1327.49076

[5] Nicola Fusco; Vesa Julin A strong form of the quantitative isoperimetric inequality, Calc. Var. Partial Differ. Equ., Tome 50 (2014) no. 3-4, pp. 925-937 | Article | MR 3216839 | Zbl 1296.49041

[6] Nicola Fusco; Francesco Maggi; Aldo Pratelli The sharp quantitative isoperimetric inequality, Ann. Math., Tome 168 (2008) no. 3, pp. 941-980 | Article | MR 2456887 | Zbl 1187.52009