Considérons un domaine planaire ouvert dont le déficit isopérimétrique est plus petit que 1. Cette note montre que la différence entre le barycentre de et celui de sa frontière est majoré en norme par le déficit isopérimétrique à la puissance 1/4, à une constante multiplicative près. Cette puissance peut être améliorée en 1/2 quand est de plus supposé être convexe, dans tout espace euclidien de dimension au moins 2.
Consider an open domain on the plane, whose isoperimetric deficit is smaller than 1. This note shows that the difference between the barycenter of and the barycenter of its boundary is bounded above by a constant times the isoperimetric deficit to the power 1/4. This power can be improved to 1/2, when is furthermore assumed to be a convex domain, in any Euclidean space of dimension larger than 2.
@article{AMBP_2019__26_1_67_0, author = {Laurent Miclo}, title = {Isoperimetric stability of boundary barycenters in the plane}, journal = {Annales Math\'ematiques Blaise Pascal}, pages = {67--80}, publisher = {Universit\'e Clermont Auvergne, Laboratoire de math\'ematiques Blaise Pascal}, volume = {26}, number = {1}, year = {2019}, doi = {10.5802/ambp.383}, language = {en}, url = {https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.383/} }
Laurent Miclo. Isoperimetric stability of boundary barycenters in the plane. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 67-80. doi : 10.5802/ambp.383. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.383/
[1] Sur une amélioration de l’inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d’une inégalité de Minkowski, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 172 (1921), pp. 1087-1089 | Zbl 48.0839.01
[2] Geometric inequalities, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Volume 285, Springer, 1988, xiv+331 pages (Translated from the Russian by A. B. Sosinskiĭ) | Article | MR 936419 | Zbl 0633.53002
[3] On the evolution by duality of domains on manifolds (2019) (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02009885/file/evolving.pdf)
[4] The quantitative isoperimetric inequality and related topics, Bull. Math. Sci., Volume 5 (2015) no. 3, pp. 517-607 | Article | MR 3404715 | Zbl 1327.49076
[5] A strong form of the quantitative isoperimetric inequality, Calc. Var. Partial Differ. Equ., Volume 50 (2014) no. 3-4, pp. 925-937 | Article | MR 3216839 | Zbl 1296.49041
[6] The sharp quantitative isoperimetric inequality, Ann. Math., Volume 168 (2008) no. 3, pp. 941-980 | Article | MR 2456887 | Zbl 1187.52009