[Stabilité isopérimétrique des barycentres de frontière dans le plan]
Considérons un domaine planaire ouvert dont le déficit isopérimétrique est plus petit que 1. Cette note montre que la différence entre le barycentre de et celui de sa frontière est majoré en norme par le déficit isopérimétrique à la puissance 1/4, à une constante multiplicative près. Cette puissance peut être améliorée en 1/2 quand est de plus supposé être convexe, dans tout espace euclidien de dimension au moins 2.
Consider an open domain on the plane, whose isoperimetric deficit is smaller than 1. This note shows that the difference between the barycenter of and the barycenter of its boundary is bounded above by a constant times the isoperimetric deficit to the power 1/4. This power can be improved to 1/2, when is furthermore assumed to be a convex domain, in any Euclidean space of dimension larger than 2.
DOI : 10.5802/ambp.383
Keywords: Isoperimetric inequality on the plane, isoperimetric deficit, boundary barycenter, convex domains, isoperimetric stability
Mot clés : Inégalité isopérimétrique planaire, déficit isopérimétrique, barycentre de frontière, domaines convexes, stabilité isopérimétrique
Laurent Miclo 1
CC-BY 4.0
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Laurent Miclo. Isoperimetric stability of boundary barycenters in the plane. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 67-80. doi : 10.5802/ambp.383. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.383/
[1] Sur une amélioration de l’inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d’une inégalité de Minkowski, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 172 (1921), pp. 1087-1089 | Zbl
[2] Geometric inequalities, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 285, Springer, 1988, xiv+331 pages (Translated from the Russian by A. B. Sosinskiĭ) | DOI | MR | Zbl
[3] On the evolution by duality of domains on manifolds (2019) (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02009885/file/evolving.pdf)
[4] The quantitative isoperimetric inequality and related topics, Bull. Math. Sci., Volume 5 (2015) no. 3, pp. 517-607 | DOI | MR | Zbl
[5] A strong form of the quantitative isoperimetric inequality, Calc. Var. Partial Differ. Equ., Volume 50 (2014) no. 3-4, pp. 925-937 | DOI | MR | Zbl
[6] The sharp quantitative isoperimetric inequality, Ann. Math., Volume 168 (2008) no. 3, pp. 941-980 | DOI | MR | Zbl
Cité par Sources :