Annales Mathématiques
Blaise Pascal
no. 1
Une formule différentielle de la longueur extrémale et ses applications
Hideki Miyachi1 ; Ken’ichi Ohshika1
1 Department of Mathematics, Graduate School of Science, Osaka University, Machikaneyama 1-1, Toyonaka, Osaka 560-0043, Japan
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 24 (2017) no. 1, pp. 115-133.

Pour un chemin linéaire par morceaux dans l’espace des laminations mesurées sur une surface hyperbolique, nous démontrons une formule différentielle de la fonction de la longueur extrémale exprimée par le nombre d’intersection. Nous donnerons deux applications de cette formule. D’abord nous montrerons la convexité stricte de la boule unité de l’espace des laminations mesurées par rapport à la longueur extrémale, et ensuite donnerons un plongement de l’espace de Teichmüller dans l’espace vectoriel défini par un réseau ferroviaire, lequel correspond, dans le cadre de la géométrie de longueur extrémale, aux coordonnées d’étirement de Thurston.

For a piecewise linear path in the measured lamination space on a hyperbolic surface, we shall prove a differential formula of the extremal length function expressed by the intersection number. We shall also present two applications of this formula. We first show the strict convexity of the unit ball in the measured lamination space with respect to the extremal length, and then give an embedding of Teichmüller space into a vector space defined by a train track, which corresponds, in the framework of the extremal length geometry, to Thurston’s shear coordinates.

Publié le :
DOI : 10.5802/ambp.366
Classification : 30F60
Mot clés : longueur extrémale, coordonnées d’étirement de Thurston
Keywords: extremal length, Thurston’s shear coordinates

Hideki Miyachi 1 ; Ken’ichi Ohshika 1

1 Department of Mathematics, Graduate School of Science, Osaka University, Machikaneyama 1-1, Toyonaka, Osaka 560-0043, Japan
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{AMBP_2017__24_1_115_0,
     author = {Hideki Miyachi and Ken{\textquoteright}ichi Ohshika},
     title = {Une formule diff\'erentielle de la longueur extr\'emale et ses applications},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     pages = {115--133},
     publisher = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {24},
     number = {1},
     year = {2017},
     doi = {10.5802/ambp.366},
     language = {fr},
     url = {https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.366/}
}
TY  - JOUR
AU  - Hideki Miyachi
AU  - Ken’ichi Ohshika
TI  - Une formule différentielle de la longueur extrémale et ses applications
JO  - Annales mathématiques Blaise Pascal
PY  - 2017
SP  - 115
EP  - 133
VL  - 24
IS  - 1
PB  - Annales mathématiques Blaise Pascal
UR  - https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.366/
DO  - 10.5802/ambp.366
LA  - fr
ID  - AMBP_2017__24_1_115_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Hideki Miyachi
%A Ken’ichi Ohshika
%T Une formule différentielle de la longueur extrémale et ses applications
%J Annales mathématiques Blaise Pascal
%D 2017
%P 115-133
%V 24
%N 1
%I Annales mathématiques Blaise Pascal
%U https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.366/
%R 10.5802/ambp.366
%G fr
%F AMBP_2017__24_1_115_0
Hideki Miyachi; Ken’ichi Ohshika. Une formule différentielle de la longueur extrémale et ses applications. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 24 (2017) no. 1, pp. 115-133. doi : 10.5802/ambp.366. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.366/

[1] Francis Bonahon Shearing hyperbolic surfaces, bending pleated surfaces and Thurston’s symplectic form, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Volume 5 (1996) no. 2, pp. 233-297 | DOI | MR | Zbl

[2] Francis Bonahon Geodesic laminations with transverse Hölder distributions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 30 (1997) no. 2, pp. 205-240 | DOI | MR | Zbl

[3] Francis Bonahon Geodesic laminations on surfaces, Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology (Stony Brook, NY, 1998) (Contemporary Mathematics), Volume 269, American Mathematical Society, 2001, pp. 1-37 | DOI | MR | Zbl

[4] A. Fathi; F. Laudenbach; V. Poénaru Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque, 66, Société Mathématique de France, Paris, 1979, 284 pages (Séminaire Orsay, With an English summary) | MR | Zbl

[5] Frederick P. Gardiner; Howard Masur Extremal length geometry of Teichmüller space, Complex Variables Theory Appl., Volume 16 (1991) no. 2-3, pp. 209-237 | DOI | MR | Zbl

[6] John Hubbard; Howard Masur Quadratic differentials and foliations, Acta Math., Volume 142 (1979) no. 3-4, pp. 221-274 | DOI | MR | Zbl

[7] Steven P. Kerckhoff The asymptotic geometry of Teichmüller space, Topology, Volume 19 (1980) no. 1, pp. 23-41 | DOI | MR | Zbl

[8] Gilbert Levitt Foliations and laminations on hyperbolic surfaces, Topology, Volume 22 (1983) no. 2, pp. 119-135 | DOI | MR | Zbl

[9] Hideki Miyachi A differential formula for extremal length, In the tradition of Ahlfors-Bers. VI (Contemporary Mathematics), Volume 590, American Mathematical Society, 2013, pp. 137-152 | DOI | MR | Zbl

[10] Athanase Papadopoulos Réseaux ferrovaires, difféomorphismes pseudo-Anosov et automorphismes sympléclique de l’homologie d’une surface, Publ. Math. Orsay, Volume 83-03 (1983) (73 pages) | Zbl

[11] Athanase Papadopoulos; Weixu Su On the Finsler structure of Teichmüller’s metric and Thurston’s metric, Expo. Math., Volume 33 (2015) no. 1, pp. 30-47 | DOI | MR | Zbl

[12] Robert C. Penner; John L. Harer Combinatorics of train tracks, Annals of Mathematics Studies, 125, Princeton University Press, 1992, xi+216 pages | MR | Zbl

[13] William P. Thurston The geometry and topology of three-manifolds (available at http://library.msri.org/books/gt3m/)

[14] William P. Thurston Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces (1998) (https://arxiv.org/abs/math/9801039)

Cité par Sources :