Root systems, symmetries and linear representations of Artin groups
[Systèmes de racines, symétries et représentations linéaires des groupes d’Artin]
Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 25-54.

Soient Γ un graphe de Coxeter, W son groupe de Coxeter associé et G un groupe de symétries de Γ. Rappelons que, par un théorème de Hée et Mühlherr, W G est un groupe de Coxeter associé à un certain graphe de Coxeter Γ ^. On note Φ + l’ensemble des racines positives de Γ et Φ ^ + l’ensemble des racines positives de Γ ^. Soit E un espace vectoriel sur un corps 𝕂 ayant une base en bijection avec Φ + . L’action de G sur Γ induit une action de G sur Φ + , et donc sur E. Nous montrons que E G contient une famille libre de vecteurs naturellement en bijection avec Φ ^ + et nous déterminons exactement quand cette famille est une base de E G . Cette question est motivée par la construction de représentations linéaires à la Krammer de groupes d’Artin non simplement lacés.

Let Γ be a Coxeter graph, let W be its associated Coxeter group, and let G be a group of symmetries of Γ. Recall that, by a theorem of Hée and Mühlherr, W G is a Coxeter group associated to some Coxeter graph Γ ^. We denote by Φ + the set of positive roots of Γ and by Φ ^ + the set of positive roots of Γ ^. Let E be a vector space over a field 𝕂 having a basis in one-to-one correspondence with Φ + . The action of G on Γ induces an action of G on Φ + , and therefore on E. We show that E G contains a linearly independent family of vectors naturally in one-to-one correspondence with Φ ^ + and we determine exactly when this family is a basis of E G . This question is motivated by the construction of Krammer’s style linear representations for non simply laced Artin groups.

Publié le : 2020-01-21
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.381
Classification : 20F36
Mots clés: Groupe d’Artin, représentation linéaire, groupe de Coxeter, système de racines
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     author = {Olivier Geneste and Jean-Yves H\'ee and Luis Paris},
     title = {Root systems, symmetries and linear representations of Artin groups},
     journal = {Annales Math\'ematiques Blaise Pascal},
     publisher = {Universit\'e Clermont Auvergne, Laboratoire de math\'ematiques Blaise Pascal},
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     year = {2019},
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     doi = {10.5802/ambp.381},
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Geneste, Olivier; Hée, Jean-Yves; Paris, Luis. Root systems, symmetries and linear representations of Artin groups. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 26 (2019) no. 1, pp. 25-54. doi : 10.5802/ambp.381. https://ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2019__26_1_25_0/

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