Une formule différentielle de la longueur extrémale et ses applications
Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 24 (2017) no. 1, pp. 115-133.

Pour un chemin linéaire par morceaux dans l’espace des laminations mesurées sur une surface hyperbolique, nous démontrons une formule différentielle de la fonction de la longueur extrémale exprimée par le nombre d’intersection. Nous donnerons deux applications de cette formule. D’abord nous montrerons la convexité stricte de la boule unité de l’espace des laminations mesurées par rapport à la longueur extrémale, et ensuite donnerons un plongement de l’espace de Teichmüller dans l’espace vectoriel défini par un réseau ferroviaire, lequel correspond, dans le cadre de la géométrie de longueur extrémale, aux coordonnées d’étirement de Thurston.

For a piecewise linear path in the measured lamination space on a hyperbolic surface, we shall prove a differential formula of the extremal length function expressed by the intersection number. We shall also present two applications of this formula. We first show the strict convexity of the unit ball in the measured lamination space with respect to the extremal length, and then give an embedding of Teichmüller space into a vector space defined by a train track, which corresponds, in the framework of the extremal length geometry, to Thurston’s shear coordinates.

Publié le : 2017-08-24
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.366
Classification : 30F60
Mots clés: longueur extrémale, coordonnées d’étirement de Thurston
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Hideki Miyachi; Ken’ichi Ohshika. Une formule différentielle de la longueur extrémale et ses applications. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 24 (2017) no. 1, pp. 115-133. doi : 10.5802/ambp.366. https://ambp.centre-mersenne.org/item/AMBP_2017__24_1_115_0/

[1] Francis Bonahon Shearing hyperbolic surfaces, bending pleated surfaces and Thurston’s symplectic form, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Volume 5 (1996) no. 2, pp. 233-297 | Article | MR 1413855 (97i :57011) | Zbl 0880.57005

[2] Francis Bonahon Geodesic laminations with transverse Hölder distributions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 30 (1997) no. 2, pp. 205-240 | Article | MR 1432054 (98b :57027) | Zbl 0887.57018

[3] Francis Bonahon Geodesic laminations on surfaces, Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology (Stony Brook, NY, 1998) (Contemporary Mathematics) Volume 269, American Mathematical Society, 2001, pp. 1-37 | Article | MR 1810534 (2001m :57023) | Zbl 0996.53029

[4] A. Fathi; F. Laudenbach; V. Poénaru Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque, Volume 66, Société Mathématique de France, Paris, 1979, 284 pages (Séminaire Orsay, With an English summary) | MR 568308 (82m :57003) | Zbl 0406.00016

[5] Frederick P. Gardiner; Howard Masur Extremal length geometry of Teichmüller space, Complex Variables Theory Appl., Volume 16 (1991) no. 2-3, pp. 209-237 | Article | MR 1099913 (92f :32034) | Zbl 0702.32019

[6] John Hubbard; Howard Masur Quadratic differentials and foliations, Acta Math., Volume 142 (1979) no. 3-4, pp. 221-274 | Article | MR 523212 (80h :30047) | Zbl 0415.30038

[7] Steven P. Kerckhoff The asymptotic geometry of Teichmüller space, Topology, Volume 19 (1980) no. 1, pp. 23-41 | Article | MR 559474 (81f :32029) | Zbl 0439.30012

[8] Gilbert Levitt Foliations and laminations on hyperbolic surfaces, Topology, Volume 22 (1983) no. 2, pp. 119-135 | Article | MR 683752 | Zbl 0522.57027

[9] Hideki Miyachi A differential formula for extremal length, In the tradition of Ahlfors-Bers. VI (Contemporary Mathematics) Volume 590, American Mathematical Society, 2013, pp. 137-152 | Article | MR 3087932 | Zbl 1351.32022

[10] Athanase Papadopoulos Réseaux ferrovaires, difféomorphismes pseudo-Anosov et automorphismes sympléclique de l’homologie d’une surface, Publ. Math. Orsay, Volume 83-03 (1983) (73 pages) | Zbl 0524.57019

[11] Athanase Papadopoulos; Weixu Su On the Finsler structure of Teichmüller’s metric and Thurston’s metric, Expo. Math., Volume 33 (2015) no. 1, pp. 30-47 | Article | MR 3310926 | Zbl 1308.32017

[12] Robert C. Penner; John L. Harer Combinatorics of train tracks, Annals of Mathematics Studies, Volume 125, Princeton University Press, 1992, xi+216 pages | MR 1144770 (94b :57018) | Zbl 0765.57001

[13] William P. Thurston The geometry and topology of three-manifolds (available at http://library.msri.org/books/gt3m/)

[14] William P. Thurston Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces (1998) (https://arxiv.org/abs/math/9801039)