On asymptotic Fermat over the ${\protect \mathbb{Z}}_2$-extension of $\protect \mathbb{Q}$

Nuno Freitas; Alain Kraus; Samir Siksek

doi:10.5802/ambp.397

On asymptotic Fermat over the

ℤ_{2}

-extension of

ℚ

[Le théorème de Fermat asymptotique sur la

ℤ_{2}

-extension de

ℚ

]

Nuno Freitas ¹ ; Alain Kraus ² ; Samir Siksek ³

¹ Departament de Matemàtiques i Informàtica Universitat de Barcelona (UB) Gran Via de les Corts Catalanes 585 08007 Barcelona Spain
² Sorbonne Université Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche UMR 7586 CNRS - Paris Diderot 4 Place Jussieu 75005 Paris France
³ Mathematics Institute University of Warwick CV4 7AL United Kingdom

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 28 (2021) no. 1, pp. 1-6.

Résumé
Abstract

Les auteurs ont démontré récemment le théorème de Fermat asymptotique pour la famille infinie de corps $ℚ {(ζ_{2^{r + 2}})}^{+}$ avec $r \geq 0$ . Un argument essentiel de la démonstration est relié à la conjecture suivante de Kraus. Soit $K$ un corps de nombres ayant un nombre de classes restreint impair et un unique idéal premier $λ$ au-dessus de $2$ . Alors il n’existe pas de courbes elliptiques définies sur $K$ , de conducteur $λ$ , ayant un point d’ordre $2$ rationnel sur $K$ . On présente dans cette note une nouvelle preuve élémentaire de la conjecture de Kraus, en utilisant seulement des résultats de base sur les courbes elliptiques, qui concernent les courbes de Tate et les modules de Tate.

In a recent work the authors prove the effective asymptotic Fermat’s Last Theorem for the infinite family of fields $ℚ {(ζ_{2^{r + 2}})}^{+}$ where $r \geq 0$ . A crucial step in their proof is the following conjecture of Kraus. Let $K$ be a number field having odd narrow class number and a unique prime $λ$ above $2$ . Then there are no elliptic curves defined over $K$ with conductor $λ$ and a $K$ -rational point of order $2$ . In this note we give a new elementary proof of Kraus’ conjecture that makes use only of basic facts about elliptic curves, Tate curves and Tate modules.

Publié le : 2022-01-21

DOI : 10.5802/ambp.397

Classification : 11D41, 11F80, 11G05
Keywords: Fermat, modularity, elliptic curves, real abelian fields
Mot clés : Fermat, modularité, courbes elliptiques, corps réels et abéliens

Affiliations des auteurs :

Nuno Freitas ¹ ; Alain Kraus ² ; Samir Siksek ³

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Nuno Freitas; Alain Kraus; Samir Siksek. On asymptotic Fermat over the ${\protect \mathbb{Z}}_2$-extension of $\protect \mathbb{Q}$. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 28 (2021) no. 1, pp. 1-6. doi : 10.5802/ambp.397. https://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.397/

Bibliographie
Cité par

[1] Nuno Freitas; Alain Kraus; Samir Siksek Class field theory, Diophantine analysis and the asymptotic Fermat’s Last Theorem, Adv. Math., Volume 363 (2020), 106964 | DOI | MR | Zbl

[2] Kenkichi Iwasawa A note on class numbers of algebraic number fields, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., Volume 20 (1956), pp. 257-258 | DOI | MR | Zbl

[3] Frazer Jarvis; Paul Meekin The Fermat equation over $ℚ (\sqrt{2})$ , J. Number Theory, Volume 109 (2004) no. 1, pp. 182-196 | DOI | MR | Zbl

[4] Alain Kraus Le théorème de Fermat sur certains corps de nombres totalement réels, Algebra Number Theory, Volume 13 (2019) no. 2, pp. 301-332 | DOI | MR | Zbl

[5] Jean-Pierre Serre Abelian $l$ -adic representations and elliptic curves, Advanced Book Classics, Addison-Wesley Publishing Group, 1989, xxiv+184 pages (With the collaboration of Willem Kuyk and John Labute) | MR

[6] Joseph H. Silverman Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 151, Springer, 1994, xiv+525 pages | DOI | MR

[7] Jack A. Thorne Elliptic curves over $ℚ_{\infty}$ are modular, J. Eur. Math. Soc., Volume 21 (2019) no. 7, pp. 1943-1948 | DOI | MR | Zbl

[8] Andrew Wiles Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Ann. Math., Volume 141 (1995) no. 3, pp. 443-551 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :